blackjackで2%のエッジがあるケース

質問

blackjackで2%のエッジがあるケースを考えています。
以下のケースは全く同様のケースなので考えて頂けませんでしょうか？

箱に赤玉51個、白玉49個あり、赤玉を引けば掛け金が2倍となり白玉を引けば掛け金を失うゲームを考えます。
(100円掛けて赤玉を引けば利益100円)
予算が1000円あり1000円失うか1000円利益を得るまでゲームを続けるとします。
掛け金をx円固定で掛け続けた場合の破産の確率と1000円利益を得られる確率はどのように求められるでしょうか？
解答宜しくお願いします。

回答No.4

kony0 · ベストアンサー

エッジがy%で掛け金x円とした場合に1000円得られる確率

w=(1+y/100)/2←赤玉を引く確率がp。
n=ceiling(1000/x)←1000/xを下回らない最小の整数。都合n回勝つ（負ける）と1000円利益（破産）。

#2のときと同じくp[k]を考える。(k=-n～n)

p[-n]=0
p[k]=w*p[k+1]+(1-w)*p[k-1](k=-n+1～n-1)
p[n]=1

第２式から
(p[k+1]-p[k])={(1-w)/w}(p[k]-p[k-1])(k=-n+1～n-1)

q[k]=p[k]-p[k-1], v=(1-w)/w, p[-n+1]=aとおくと

q[-n+1]=a
q[k+1]=v*q[k](k=-n+1～n-1)
→q[k]=av^(k+n-1)(k=-n+1～n)

→p[m]=p[n]-Σ(k=m+1～n)q[k]（階差を逆にたどる）
=1-{av^(m+n)(1-v^(n-m))/(1-v)}

p[-n+1]=aだから
a=1-{av(1-v^(2n-1))/(1-v)}
→a=(1-v)/(1-v^(2n))

したがって、求めるのは、
p[0]=1 - v^n/(1+v^n) = 1/(1+v^n)
ただし、w=(1+y/100)/2, v=(1-w)/w

・・・あらシンプル。#3さんの回答とも一致しますね。よかった（ほっ）

お礼

詳しい証明ありがとうございます。
早速、式を使っていろいろシミュレーションして見ました。
ありがとうございました。

回答No.3

kiriburi

No.1です。
間違ってました。
No.2のかたの回答の通りです。
なお、
R=1000/x とすると1000円利益を得られる確率Pは
P=1/(1+(0.49/0.51)^R)
です。

お礼

ima zennkaku nyuuryoku dekimasenn. sumimasen.

saido,kaitou arigato gozaimasu.
donoyouni ueno kekka ga erareru no desyouka?
sumimasennga kaitou yorosiku onegai simasu.

回答No.2

kony0

たとえば500円ずつ賭けるとする。
いま、収支が500k円(k=-2,-1,0,1,2)である状態を考えて、そこから1000円利益が得られる確率をp(k)とすると
p(-2)=0
p(-1)=51% * p(0)
p( 0)=51% * p(1) + 49% * p(-1)
p( 1)=51% * 1 + 49% * p(0)
p( 2)=1

求める確率はp(0)=pとおくと、
p=51%*(51%+49%*p)+49%*51%*p
p=0.51*0.51/(1-2*0.51*0.49)=0.51999

少なくとも、確率は（微小？には）変わるみたいね。

あとはこまかくやるとどこまで変わるかの問題ですが・・・

お礼

早速の回答ありがとうございます。
素晴らしい解答ですね。すっきりしました。
中学とか高校の数学の問題でこういうのはありましたか？
全く記憶にないのですが。
掛け金が小さいケースは計算がめんどくさそうですね。
ちなみに手元の本には、掛け金をx円とすると
x=1000で51%, x=100で60%, x=50で69%,
x=20で88%, x=10で98% だそうです。
理想を言えば、エッジがy%で掛け金x円とした場合に1000円得られる確率を
式で表せたらと思うのですが。

回答No.1

kiriburi

チビチビ賭けても、ドッカーンと賭けても、破産の確率は変わりません。
掛け金x円を1000円として考えればＯＫです。

お礼

早速の回答ありがとうございます。