条件付き確率がよく理解できません

質問

同じ形の赤球3個と白玉5個の入った箱Xと、同じ形の赤球2個と白玉6個が入った箱Yがある。
確率1/3で箱Xを、また確率2/3で箱Yを選択し、その箱の中から1つだけ球を取り出す試行を行った結果、その球が赤玉であった。このとき、選択した箱がXであった確率を求めよ。

例えばこの問題で考えると

箱Xを選び赤玉を取り出す確率は

1/3×3/8 = 1/8

だと思います。
しかし

この問題で問われている
「赤玉を取り出したという条件のもと、箱Xを選ぶ確率」は
この確率とは違う解になります。

この二つは一体なにが違うのでしょうか?

回答No.2

f272 · ベストアンサー

.箱と玉の選び方で4つの場合が考えられる。
A.箱Xを選び赤玉を取り出す確率3/24=1/8
B.箱Xを選び白玉を取り出す確率5/24
C.箱Yを選び赤玉を取り出す確率4/24=1/6
D.箱Yを選び白玉を取り出す確率12/24=1/2

「箱Xを選び赤玉を取り出す確率」というのはA.のこと。だから1/8
「赤玉を取り出したという条件のもと、箱Xを選ぶ確率」というのはA+Cを全体とした時のAのこと。だから3/(3+4)=3/7

お礼

皆さんありがとうございました。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

因みに。

箱Yは箱Xの２倍の確率で取り出すのですから、箱Yを２つに増やして

箱Xに赤３、白５
箱Yに赤２、白６
箱Y’に赤２、白６

の３つの箱から「どの箱も同じ確率で取り出す」のと等価です。

すると「赤を取り出すのは7/24（玉の総数は２４、赤いのは７つ）」で、「箱Xを選ぶ」のは「8/24（玉の総数は２４、X箱には８つ入っている）＝1/3」です。

結果、赤玉を取り出した時に、その箱がXであった確率は、7/72だと思います。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞この二つは一体なにが違うのでしょうか?

「箱Yの中の赤い玉」を考慮するか、考慮しないか、が違います。

＞箱Xを選び赤玉を取り出す確率は
＞1/3×3/8 = 1/8
＞だと思います。

これは「箱Xを選び」の時点で「箱Yが無かった事」にされちゃってます。

「箱Yが無かった事」にしないでいれば、確率が変わってくるのは当然です。