玉の衝突問題

質問

かなり分かりにくい質問内容で申し訳ございませんが、
以下の問題の解き方の指針やどのようなアドバイスで
も頂けたら嬉しいです。問題において具体的な値を定義
していませんが、何か分かりやすい極端な値でも設定し
て説明して頂いても良いです。

(問題)
サイズの同じAとBの箱を準備し、その両方の箱にサイズ
の同じ赤色と青色の玉をきちんと混ざるように入れるこ
とにします。AとBの箱に入っている赤玉と青玉の数は同
じですが、赤玉の数は青玉に比べて圧倒的に少ないもの
とします。

次にそれぞれの箱の中心から白玉を等方的に発射するこ
とにします。白玉が赤玉か青玉と衝突すると衝突した２
つは消えることにします。また、赤玉と青玉の数は多い
ので白玉は箱の壁に到達することなく必ず赤玉か青玉と
衝突するものとします。

このような条件のもと、次の２通りのケースを考える
ことにします。

ケース１：AとBの箱の中心から、同数の白玉を発射さ
せる。
ケース２：AとBの箱の中心から白玉を発射させるが、
Aの箱からの方がBの箱よりも多くの白玉を発
射させることにする。しかし、白玉の合計は
ケース１と同じにする。

ケース１において、白玉が赤玉に衝突した数の合計(箱A
＋箱B)をNr1、青玉に衝突した数の合計をNb1とします。
ケース１においては箱Aと箱Bは全く同じ条件(体系)です
ので、それぞれの箱における衝突数は1/2(Nr1)と1/2(Nb1)
となります。同様にケース２において、Nr2とNb2としま
す。しかし、ケース２においては、箱Aと箱Bは同じ条件
ではございませんので、それぞれの箱における衝突数は、
1/2(Nr2)、1/2(Nb2)とはなりません。

ここで赤玉に対してNr1<Nr2となることはあるか？さら
に赤玉に対してはNr1<Nr2となり、青玉に対してNb1>Nb2
となることは有り得るか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

箱が二つある、って話はこの問いに関してはどーでもよいことですね。
「ケース1では白玉が赤玉だけでなく青玉にもしばしば衝突したが、ケース2ではたまたま白玉が青玉には滅多に当たらず大抵赤玉に衝突した」という事象が起こる可能性はある。
で、そういう事象が生じたとき、
(1) Nr1, Nr2, Nb1はいずれも≧0である。
(2) Nr1+Nb1=Nr2+Nb2　(=それぞれのケースでの白玉の発射回数は同数）である。
(3) Nb1＞Nb2である。
ゆえに
Nb1＞Nb2
Nr1＜Nr2
がどちらも成り立っている。だから、二つのご質問は「どっちも有り得る」が答。
ちなみに(2)から、Nr1＞Nr2とNb1＞Nb2とが同時に成り立つことはあり得ませんし、Nr1＜Nr2とNb1＜Nb2とが同時に成り立つこともあり得ません。

補足

ご回答有難うございました。Nr1＞Nr2とNb1＞Nb2が同時に成り立つことはないということが分かり良かったです。

ところで、更にお聞きしたいと思っていることは、赤玉に対して青玉の比率をRとすることにします(青玉の方が圧倒的に多いので、例えばR≧1000)。
一般的にはNr1=Nr2, Nb1=Nb2となると思うのですが、Rの値を変化させて行ったときに、Nr1<Nr2, Nb1>Nb2となる場合があるかもと思うのですが、その時のRの値の求め方の概略について知りたいと思っています。漠然とした質問で申し訳ございません・・・。