大学の数学の環の問題です。教えてください。

質問

Q：有理数体　Q[x]：Q上の多項式環
問題
次の多項式f(x)がQ[x]で既約かどうか調べよ。
(1)n>1で、ある素数pについてpはaの約数、p^2はaの約数ではないとき、f(x) = a - x^n
(2)f(x) = 3 + 9x -12x^3 + x^4
(3)f(x) = p - px + px^2 - x^3 ∈Z[x]　（pは素数）
(4)f(x) = 1 - x + x^3

回答No.5

alice_44

では、逆に訊きたい。

アイゼンシュタインの定理：
整係数多項式 f(x) = c[0] + c[1] x + … + c[n] x^n に対し、
ある素数 p が存在して、
p が c[0], c[1], …, c[n-1] の約数であって、c[n] の約数ではなく、
p^2 は c[0] の約数でないとき、
f(x) は有理数体上既約である。

を (4) の f(x) = 1 + (-1)x + 0x^2 + 1x^3 に使おうとするとき、
何を p として使うつもりだろうか？ 具体的な素数を挙げてみて欲しい。

補足

係数が１、－１、０のときは別の調べ方をしなければいけないのですね。
ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

A No.1 のヒントにしたがって検証すれば、
(4) が因数分解できない(既約である)ことが
解ると思うんだけど…

(4) でアイゼンシュタイン判定法が使えないのは、
問題の多項式がアイゼンシュタインの定理の
条件を満たさないから。

ちなみに、アイゼンシュタイン判定法は、
既約であるための必要十分条件ではない。
条件を満たせば既約と言えるが、
満たさないときは既約であるともないとも言えず、
別の考察が必要になる。今回のように。

補足

何度も何度も質問に答えて頂きありがとうございます。

必要十分条件ではないので、既約でないとき、また調べなくてはいけないことは分かりました。
しかし、(4)がアイゼンシュタインの定理を使う条件を満たしていないのはよくわかりません。
x^2の項がないからでしょうか。だとしたら(2)もx^2の項がないのに、アイゼンシュタインの定理を使えるのはなぜだろうと思います。
この理由を詳しく教えていただけたら助かります。

回答No.3

alice_44

(1) それでは無茶苦茶。
　　問題に「p^2はaの約数ではないとき」って書いてあるし、
　　その記述では、アイゼンシュタイン判定法の条件とも合っていない。

(2) 書き方に難はあるが、
　　p=3 でのアイゼンシュタイン判定法の使い方は正しい。

(3) 書き方に難はあるが、
　　アイゼンシュタイン判定法の使い方は正しい。

(4) 言い回しが変なだけでなく、内容に誤りがある。
　　＞　今回のその有理根はx^3の係数の約数を定数項の約数で割った値
　　＞　に限られるので、1と-1がある。
　　では、解の分子と分母が逆。

解答例を (3) だけ書いてみよう。
　　素数 p について、
　　p - px + px^2 - x^3 の三次項を除く係数 p, -p, p は p で割り切れ、
　　最高次の係数 -1 は p で割り切れず、定数項 p は p^2 で割りきれない
　　から、アイゼンシュタインの定理により、
　　p - px + px^2 - x^3 は有理数体上既約である。

再挑戦待つ

補足

今日この問題の発表で問題の方はなんとかなったんですが、少し疑問がでてきて、(4)はなんでアイゼンシュタインの既約判定法を使わないのでしょうか。
アイゼンシュタインの既約判定法を使えば、条件に合わないので既約ではないことには変わりないと思ったのですが。
教えてもらいたいです。

回答No.2

alice_44

やったら、補足に書いてね。是非。

補足

(1)仮定から、aはpとp^2で割り切れる。-1はpで割り切れないので、アイゼンシュタインの既約判定法より、既約である。

(2)pを素数とすると、3と9と-12はpで割り切れる。1はpで割り切れない。3はp^2で割り切れないので、アイゼンシュタインの既約判定法より、既約である。

(3)pと-pはpで割り切れる。-1はpで割り切れない。pはp^2で割り切れないので、アイゼンシュタインの既約判定法より、既約である。（書き方に不安有り）

(4)f(x) = 0となるxが存在するかどうか調べる。f(x)は三次式なので、因数分解できるとすると、一次式の因数が存在し、今回のその有理根はx^3の係数の約数を定数項の約数で割った値に限られるので、1と-1がある。f(1) = f(-1) = 1　となり、因数分解できない。よって、既約ではない。

やってみましたが、合ってますでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

問題の出所に疑問があるから、丸教えは避けとく。

(1)～(3) アイゼンシュタインの定理で一発。
(1) の条件を読めば、この定理を思い出すはず(だよね？)
http://hooktail.sub.jp/algebra/Eisenstein/index.pdf

(4) 三次式なら、因数分解できれば一次式の因数がある。
整係数多項式の有理根は、(定数項の約数)/(最高次係数の約数)
に限られるから、
x = ±1 を代入してみれば、一次因子の有無を確認できる。

お礼

分かりました。
もう一回やってみます。