数学 ベクトル 大学

質問

この問題が分かりません。

次の平面の方程式を求めよ。

直線　x＝y＝z　を含み、点A（２、-３、４）を含む平面

やり方が分かりません。

平面の方程式の公式を使うんですか？

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞平面の方程式の公式を使うんですか？

はい。
ａｘ　＋　ｂｙ　＋　ｃｚ　＝　ｄ
です。
（ａｘ　＋　ｂｙ　＋　ｃｚ　＋　ｄ　＝　０　でもよいですが）

直線は、２点が決まると決まるものですので、
ｘ＝ｙ＝ｚ　を満たす（ｘ、ｙ、ｚ）の例を２つ挙げます。
簡単なのは、（０，０，０）と（１，１，１）だと思います。
それと点Ａですね。
よって、
（あ）　２ａ　＋　（－３ｂ）　＋　４ｃ　＝　ｄ
（い）　０　＋　０　＋　０　＝　ｄ
（う）　ａ　＋　ｂ　＋　ｃ　＝　ｄ
という連立方程式になりますけど、
求めるのがａ～ｄの４つあるのに、３本の式では解けませんね。
どこに問題があるかというと、
ａｘ　＋　ｂｙ　＋　ｃｚ　＝　ｄ
という式に問題がありました。
両辺をｄで割って
ａｘ／ｄ　＋　ｂｙ／ｄ　＋　ｃｚ／ｄ　＝　１
にして、もう面倒くさいので
Ａｘ　＋　Ｂｙ　＋　Ｃｚ　＝　１
にしちゃってから、
（ｘ、ｙ、ｚ）＝（０，０，０）、（１，１，１）、（２，－３，４）
の３つを代入ですね。

回答No.5

alice_44

問題の平面は、直線 x = y = z を含みますから、その方向ベクトル (1,1,1) に平行です。
また、点A(2,-3,4) と原点O を含むので、ベクトルOA = (2,-3,4) にも平行です。
よって、外積 (1,1,1)×(2,-3,4) = (7,-2,-5) が、平面の法線ベクトルになります。
(0,0,0) を通って (7,-2,-5) に垂直な平面は、(7,-2,-5)・(x-0,y-0,z-0) = 0 ですね。

回答No.4

sanori

すみません。訂正です。
（あ）　２ａ　＋　（－３ｂ）　＋　４ｃ　＝　ｄ
（い）　０　＋　０　＋　０　＝　ｄ
（う）　ａ　＋　ｂ　＋　ｃ　＝　ｄ

のうち（い）から　ｄ＝０　がわかりますので、
両辺をｄで割って
Ａｘ　＋　Ｂｙ　＋　Ｃｚ　＝　１
としてはダメですね。

回答No.2

Willyt

与えられた直線は原点を通りますから、　平面は　ax + by + cz =0 となります。平面はＡ点を通り、また直線は（１，１，１）を通りますから、当然平面の式に代入すると等号が成立します。すると方程式が２つできますね。この２式から　ａ：ｂ：ｃの比が出て来ます。平面の式はこの比が出るとその係数は三つともａで表せますからａを消すことで平面の式が決まりますね。

または平面の方程式の係数はすべてゼロではないことは明かですから、ｘ＋ｂｘ＋ｃ＝０と置くこともできます。これなら二つの点を通ることからb,c を算出できます。

回答No.1

gohtraw

直線ｘ＝ｙ＝ｚ上の点を通るので、例えば（１，１，１）と（３，３，３）と点Aを通る平面を求めます。
求める平面をax+by+cz+d=0とおいて上記の座標を代入し、連立方程式として解きます。別解もあります。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/q-and-a/vector/henkan-tex.cgi?size=3&target=/math/q-and-a/vector/vector3.html
http://yosshy.sansu.org/3tenplane.htm