幾何ベクトルの問題が分かりません。

質問

幾何ベクトルの問題が分かりません。

3平面
1).x-y+3z=2　　　　
2).-2x+3y-4y=-1
3).x-y+z=-1
が同一直線上で交わることを示し、その直線の方程式を答えよ

という問題があります。

上記三方程式は、
x=-5/2,y=0,z=3/2で交点が求められてしまうため、同一直線で交わらず、交点でのみ交わるのではと考えています。

試しに1)と2)の交線を算出すると、x=5-5t,y=3-2t,z=tとなり、2)と3)の交線を算出すると、x=t-4,y=-3+2t,z=t、となり、この2点の交点がやはりx=-5/2,y=0,z=3/2になります。
問題の解答を見ると、x=5-5t,y=3-2t,z=tを変形したx-5/-5=3-2t/-2=zが交線の式となっていました。

考え方がどこか間違っていますでしょうか。
問題と回答がおかしいのでしょうか。
ご指導お願いいたします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

問題にミスがあります。
誤：2).-2x+3y-4y=-1
正：2).-2x+3y-4y=-1

>上記三方程式は、
>x=-5/2,y=0,z=3/2で交点が求められてしまうため、同一直線で交わらず、
>交点でのみ交わるのではと考えています。

考え通りで、正しいですね。

>試しに1)と2)の交線を算出すると、x=5-5t,y=3-2t,z=tとなり、
>2)と3)の交線を算出すると、x=t-4,y=-3+2t,z=t、となり、この2点の交点がやはり
>x=-5/2,y=0,z=3/2になります。
計算通りで合っています。

>問題の解答を見ると、x=5-5t,y=3-2t,z=tを変形したx-5/-5=3-2t/-2=zが交線の式となっていました。
誤植です。
誤：x-5/-5=3-2t/-2=z
正：(x-5)/(-5)=(y-3)/(-2)=z

解答が間違いで
3平面は1本の共通交線の直線では交わらず、3平面に共通な
一点(x,y,z)=(-5/2,0,3/2)でのみ交わります。
あなたの考えの通りで正しいですね。

3平面の3次元プロットと交線、共通交点のプロットの図を添付しておきますので立体的に相互関係を把握して下さい。

お礼

図まで用意していただいてありがとうございます。
とてもよく分かりました。