大学数学 偏微分

質問

この問題が解けません。お願いします。

x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)=1上の点(α,β,γ)における接平面の方程式を求めよ．

回答No.2

info222_

>x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)=1
両辺の全微分をとって
( 2/3)x^(-1/3) dx+(2/3)y^(-1/3) dy +(2/3)z^(-1/3) dz=0
dx/x^(1/3) +dy/y^(1/3) +dz/z^(1/3)=0
(dx,dy,dz)を(x-α,y-β,z-γ))置き換え、(x,y,z)を（α,β,γ)で置き換えれば
(x-α)/α^(1/3) +(y-β)/β^(1/3)+(z-γ)/γ^(1/3)=0
これが求める点(α,β,γ)における接平面の方程式である。
なお、α,β,γは曲面上の点であることから
α^(2/3)+β^(2/3)+γ^(2/3)=1
を満たします。

回答No.1

bran111

３次元曲面f(x,y,z)=0の上の点(α,β,γ)における接平面の方程式は
fx((α,β,γ)(x-α)+fy(α,β,γ)(y-β)+fz(α,β,γ)(z-γ)=0 (1)
です。
fx((α,β,γ)はfのxによる偏微分係数の点(α,β,γ)における値です。

f(x,y,z)=x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)-1　　　　　　　　（2）
なので
fx(x,y,z)=(2/3)x^(-1/3)　⇒　fx(α,β,γ)＝(2/3)α^(-1/3)
fy(x,y,z)=(2/3)y^(-1/3)　⇒　fx(α,β,γ)＝(2/3)β^(-1/3)
fz(x,y,z)=(2/3)z^(-1/3)　⇒　fx(α,β,γ)＝(2/3)γ^(-1/3)
(1)は
fx((α,β,γ)(x-α)+fy(α,β,γ)(y-β)+fz(α,β,γ)(z-γ)
=(2/3)α^(-1/3)(x-α)+(2/3)β^(-1/3)(y-β)+(2/3)γ^(-1/3)(z-γ)=0
整理して
x/(α)^(1/3)+y/(β)^(1/3)+z/(γ)^(1/3)=α^(2/3)+β^(2/3)+γ^(2/3)　　（3）
点(α,β,γ)は元の曲面(2)=0上の点なので
α^(2/3)+β^(2/3)+γ^(2/3)＝1
従って(3)は
x/(α)^(1/3)+y/(β)^(1/3)+z/(γ)^(1/3)=1　　　　　　　　　　　（4）
これが求める接平面の式です。