ベクトル

質問

座標空間に平面α:x＋y＋z=2と直線l:x-2=-2y=2z-2。
このときlを含みαに垂直な平面の方程式の問題で
座標を表す時
α(1,1,1)
直線l(2,-1,1)
とどうやって座標を作るのでしょうか？

回答No.3

banakona · ベストアンサー

＞連立方程式で解くと
＞r=-(3/2)P
＞q=(1/2)P
＞になりました・・・

求める平面の法線ベクトルですよね。これは（2:1:-3）などとビシっと出て来ません。
なぜならこれの定数倍（０倍は除く）は全て正解なのですから。
という訳で、再び割ったり掛けたりしましょう。
（ａ，ｂ，ｃ）＝（ｐ，(1/2)ｐ，-(3/2)ｐ）
ｐ≠０を確かめつつ　（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１／２，－３／２）//（２，１，－３）

補足

どうもありがとうございます。
2x＋y-3z=s(s定数)
と置けるんですね。

回答No.2

banakona

＞直線l:x-2=-2y=2z-2　の場合

ｘ、ｙ、ｚの係数が１になるように変形すると　(x-2)/１=y/(-1/2)=（z-1)/(1/2）
なので直線ｌの方向ベクトルは（1，-1/2，1/2）
これでもいいんだけれど、その後の計算を簡単にするために全体に2を掛けて（２，－１，１）

お礼

連立方程式で解くと
r=-(3/2)P
q=(1/2)P
になりましたがPはどのようにかんがえるのか分かりません。

補足

そんな風に考えるのですか参考になりました。
分母を(1/2)で割る発想がちょっと難しいです

それからa:b:cの比で2:1:-3はどうやって現われたのでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland

ちょっと舌足らずなようですね。
　もう少しきちんと書くべきことを書くようにしたほうがいいですよ。その方が回答がつきやすいかと思います。

　さて、質問の内容にお答えしますと、
＞平面α:x＋y＋z=2
　　⇒　平面αの法線ベクトル(1,1,1)
＞直線l:x-2=-2y=2z-2
　　⇒　直線ｌの方向ベクトル(2,-1,1)
というところまでは分かっていますよね。（この式は以前見かけたような気がします。)

　さて、問題はここからですが、求める平面は、直線ｌを含んで、平面αに垂直な平面ですので、「求める平面の法線ベクトルは、直線ｌの方向ベクトルと平面αの法線ベクトルの両方に垂直で、直線ｌ上の点を通る」ことになります。
　そこで、求める平面の法線ベクトルを(a,b,c)としますと、これと垂直なベクトルとの内積は０になりますので、次の式が得られます。

　直線ｌの方向ベクトルと垂直　⇒　(1,1,1)・(a,b,c)＝a+b+c＝0　　・・・・（A)
　平面αの法線ベクトルと垂直　⇒　(2,-1,1)・(a,b,c)＝2a-b+c＝0　　・・・・（B)

　この2つの式を連立して、ａ：ｂ：ｃの比を求めますと、次の関係が得られます。

　　ａ：ｂ：ｃ＝２：１：－３

　これが、求める平面の法線ベクトルになります。
　ところで、直線ｌは、方向ベクトルを明示するように変形すると
　　x-2=-2y=2z-2
　⇔(x-2)/2＝y/(-1)＝(z-1)/1
となりますので、この直線は点(2,0,1)を通ることが分かります。

　ここから、求める平面は、法線ベクトルが(2:1:-3)で、点(2,0,1)を通ることから、次のように求められます。
　　2(x-2)+1・(y-0)-3(z-1)＝0
　∴2x+y-3z-1＝０

お礼

比のａ：ｂ：ｃ＝２：１：－３の求めかたが分からないので教えてください

補足

どうもありがとうございます。
聞きたいことがあるのですが
　従って、直線l:x-2=-2y=2z-2　の場合は、
　　(x-2)/2=-y=(z-1)
(x-2)=0のときx=2
(z-1)=0のときz=1
-yは-1*y?
から（２、－１，１）となるのでしょうか？