空間ベクトルの問題ですが、教えてください。

質問

空間ベクトルの問題ですが、教えてください。

問題　　次の平行な２直線を含む平面の方程式を求めよ。

　　　　（Ｘ-１）/３＝（Ｙ＋２）／４＝（Ｚ＋３）/－５

　　　　（Ｘ＋１）/３＝　Ｙ/４＝（Ｚ－１）/－５

　解答は　　１３Ｘ－Ｙ＋７Ｚ＝－５　　となっているのですが

　　　　　解き方が分かりません。

　　　　　分かり易く教えてくださる方いましたら

　　　　　よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44

No.1 流で…

平行な２直線を含む平面が一意的に定まることは、幾何学的に明らかです。
その平面の方程式を、aX + bY + cZ = d と起きます。

直線（Ｘ-１）/３＝（Ｙ＋２）／４＝（Ｚ＋３）/－５ の上から適当に二点拾うと、
例えば、点 (X,Y,Z) = (1,-2,-3) と (4,2,-8) があり、
直線（Ｘ＋１）/３＝　Ｙ/４＝（Ｚ－１）/－５ の上から適当に一点拾うと、
例えば、点 (X,Y,Z) = (-1,0,1) がありますから、

aX + bY + cZ = d が、この三点を含むように、
a - 2b - 3c = d,
4a + 2b - 8Z = d,
-a + c = d,

この連立方程式を解いて、(a/d, b/d, c/d) = (-13/6, 1/6, -7/6)。
よって、求める平面は、13x - y + 7z = -6。

補足

皆さんの分かり易い解答ありがとうございます。

私の質問で大きな誤りがあったので訂正させていただきます。

解答として載せました方程式に誤りがありました。

　　　　（誤）　13x - y + 7z = -5

　　　　（正）　13x - y + 7z = -6

ご解答いただきました方には大変申し訳ありませんでした。

お詫び申し上げます。

回答No.3

info22_

>（Ｘ-１）/３＝（Ｙ＋２）／４＝（Ｚ＋３）/－５…(A)

>（Ｘ＋１）/３＝　Ｙ/４＝（Ｚ－１）/－５…(B)

(A)上の点P(1,-2,-3)と(B)上の点Q(-1,0,1)を通る直線PQは
(x,y,z)=(1,-2,-3)+s(-2,2,4)…(C)
で表されます。また直線（A)は
(x,y,z)=(1,-2,-3)+t(3,4,-5)…(D)
で表されます。
(C)と（D)は点Pで交わる直線ですかこの2直線を含む平面は
(x,y,z)=(1,-2,-3)+s(-2,2,4)+t(3,4,-5)
でこれが求める平面の媒介変数表現です。
これを座標成分に書き下せば
x=1-2s+3t
y=-2+2s+4t
z=-3+4s-5t

s,tを消去して陰関数表現の平面の方程式にすれば

13x-y+7z=-6

となります。

>解答は　　１３Ｘ－Ｙ＋７Ｚ＝－５　　となっているのですが

この解答の右辺の定数が間違っていますね。
2直線上の点P(1,-2,-3)と点Q(-1,0,1)の座標が解答の平面上の点なので平面の方程式に
代入すれば満たすはずですが、P,Qとも満たしませんね。
明らかに解答の平面の方程式は求める方程式になっていません。

回答No.2

Anti-Giants

平面の方程式は
aX + bY + cZ = d.
と書けます。

この平面が、直線
(X-1)/3 = (Y+2)/4 = -(Z+3)/5 = s.
を含むから、とおいて
X = 3s + 1.
Y = 4s + -2.
Z = -5s -3.
を平面の式に代入して整理すると
(3a+4b-5c)s = -a + 2b + 3c + d.
この式がすべてのsについて成り立つには
3a + 4b -5c = 0.
-a + 2b + 3c +d =0.

もう一方の直線も同様にやると
全部で４つの方程式ができます。
その連立方程式を解いて、a,b,c,dを求めます。

回答No.1

Tacosan

念のためですが, 「与えられた 3点を通る平面の方程式」の求め方はわかりますか?