極限について

質問

極限を学んでいますが、他の分野と比べて、どうもはっきりすっきりしない感じ゛があります。
教えて下さい。
例えば、limit x→2+0 1/x-2 は、∞ となりますが、これはどう考えて答えを出しているのですか。
グラフを想像するのですか、それとも、限りなく2に近い値（2,1）などを式に代入してみて考えるのですか。
limit x→0 1+cos x /1-cos x
についても、同様に質問です。
お願いします教えて下さい。

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

タテマエとしては、εδ形式を使ったり、高校範囲でやるにしても
不等式で評価してハサミウチに持ち込んだりしなければいけませんが…
ホンネのところ、値だけ欲しいときには
「デッカイ」とか「チッチャイ」とかいうエエカゲンな計算をします。

lim[x→2+0] 1/(x - 2) であれば、
x→2+0 のとき、分母は正のチッチャイ数で、分子は正の有限値だから、
割れば正のデッカイ値になる…　すなわち +∞ 発散。

lim[x→0] (1 + cos x)/(1 - cos x) の場合も、
x→±0 のとき、分母は正のチッチャイ数で、分子は正の有限値だから、
割れば正のデッカイ値になる…　すなわち +∞ 発散。

～という具合です。もちろん、得た値をちゃんと正当化するためには、
真っ当な計算が欠かせないのですが。

(グラフなんて、山勘でも、証明でもありませんよ。)

お礼

ご丁寧な返信を、ありがとうございました。
『エエカゲンな計算』という一文に、私の今までの、はっきりすっきりしない原因があったのです。この一文によって、かなり気楽になりました。
本当にありがとうございました。感謝いたします。

回答No.5

noname#171582

y={1+cos(x)}/{1-cos(x)}
のグラフです。

回答No.4

noname#171582

y=1/(x-2)
のグラフです。

回答No.3

mister_moonlight

＞limit x→0 1+cos x /1-cos x　についても、同様に質問です

グラフが一番わかりやすいだろう。
tan(x/2)＝m　とすると、x→0　の時　m　→　0
分子＝1+cos ＝1＋(1-m＾2)/(1+m＾2)＝2/(1+m＾2)。分母＝1-cos ＝1-(1-m＾2)/(1+m＾2)＝2m＾2/(1+m＾2)
従って、lim［m　→　0］(分子/分母)＝lim［m　→　0］(1/m＾2)となるから、y＝1/m＾2　のグラフで、m　→　0　としてやるだけ。結果は自明。

回答No.2

yumacky

分数の極限の基本的な考え方ですが
「分母が∞に発散し(限りなく大きくなり)、分子は定数」→０に収束
「分母が限りなく０に近づき、分子は定数」→±∞に発散

となります。無限大に大きい分母に対しては定数の分子はゴミみたいなもの
ですし、分母が0に近いにも関わらず分子が定数だとその分数は無限大に
大きくなってしまいます。(ゼロで割ってはいけないと昔教わるのは、無限大に
発散してしまうから)

・limit x→2+0 1/x-2　については、分母が限りなく正の値の0に近づくので
∞に発散します。
・limit x→0 1+cos x /1-cos x　については、cos0=1なので、分母が
限りなく正の値の0に近づき、分子は2に近づきます。よって∞に発散します。

色々と式変形して極限値を出す必要があるケースは、分母と分子が両方とも0に近づいたり
両方とも∞に発散したりして、パッと見では最初に書いたパターンに当てはまらない
場合です。
色々公式やテクニックを考える前に、式をよく見て0に収束するか∞に発散するかを
まず見てみると良いかと思います。

お礼

ご丁寧な返信を、ありがとうございました。
何回も読みました。納得です。ありがとうございました。

回答No.1

syaname

lim(x→2+0) 1/(x-2)　のグラフを思い浮かべてください。
元々のグラフはy=1/x　です。これがx方向に2移動したので、
よく言う反比例のグラフですね？

これを大きい数の方からだんだん分母=０に近づけていくと、
どんどんyの値が大きくなりますよね？
なので、結果として∞になるわけです。
小さい数からやると、逆に－∞になりますので、お確かめください。

lim(x→0) (1+cos(x))/(1-cos(x))
は、申し訳ありませんが、私には解けません；；
文字の欠けなどはないですよね？
わかったら又追記します。