極限の問題です。

質問

極限について質問があります。

Limit[1/(x^3-x^2),x->0]を考える時

とりあえず1/{x^2(x-1)}としてみました。

すると1/(x-1)の部分はいいのですが、

1/x^2についてはどういう風に考えればよいのか
わかりません。

思いつきだと1/x^2=1/x×1/x
から、反比例のグラフを考えてみてやろうとしたました。

反比例のグラフを考えるとx->0+0とx->0-0で∞か－∞になると思うのですが、そういう考え方はここで
使うのでしょうか？

この後どうやればいいのかわかりません。
もしくは何か違う考え方や、やり方があるのでしょうか？

ご回答宜しくお願いいたします。

回答No.4

KENZOU · ベストアンサー

>ただ、この部分分数への分解というのが
よく理解できません。

>>1/(x^3-x^2)=1/{x^2(x-1)}=(Ax+B)/x^2＋C/(x-1)　
の(Ax+B)/x^2＋C/(x-1)の部分はどのようにして出てきたのでしょうか？

え～と、これはまずそのようにおいて、あとからA,B,Cを決めるというやりかたです。これを部分分数に展開すると言っています。ルールとして覚えておかれるといいでしょう。
●(Ax+B)/x^2・・・分母がx^2(xの2次)ですから分子はそれより次数の少ない多項式でなければなりません。
●C/(x-1)・・・分母がx（ｘの1次)ですから上のルールにより分母は定数でなければなりません。
このルールはきちんと証明できますが、ここではそうなると理解しておけばいいと思います。部分分数の展開はここ↓
http://kisuke.hit.ac.jp/math/e1(19-28).pdf
に分かりやすい演習問題がたくさん載っていますので練習されるのもいいと思います。参考URLには部分分数の講義をRealPlayerで眺めることができますよ。ご健闘を祈ります。

参考URL：

http://www.ps.nime.ac.jp/kousen/suugaku/bubun/math_kure_bubun_2.htm

お礼

ありがとうございました！！参考にしてみます。
ちょっと先が開けてきた感じがします。

回答No.3

KENZOU

＞Limit[1/(x^3-x^2),x->0]を考える時

とりあえず1/{x^2(x-1)}としてみました。

この手の問題は部分分数に分解すると分かりやすいと思います。
　1/(x^3-x^2)=1/{x^2(x-1)}=(Ax+B)/x^2＋C/(x-1)　(1)
と書けますね。(1)の右辺を通分して、左辺と比較すると
　1/(x^3-x^2)={(Ax+B)(x-1)+Cx^2}/(x^3-x^2)　　(2)
互いの分子は等しいですからこれを比較整理すると
　(A+C)x^2+(B-A)x-B=1　　(3)
(3)は恒等式ですから各係数を比較して
　A+C=0,B-A=0,-B=1　(4)
が得られ、これから　A=-1,B=-1,C=1　が得られます。これを(1)に入れると
　1/(x^3-x^2)=-(x+1)/x^2＋1/(x-1)
　　　　　　=-{(1/x)+(1/x^2)}+1/(x-1) (5)
ここでx→0の極限を取ると(5)の右辺第1,2項は-∞となりますね。第3項は-1となります。結局-∞-1=-∞となります。
ここでx→0のアプローチを2つのケースに分けると
・x→0+0の場合　(1/x)+(1/x^2)→＋∞　はいいですよね。
・x→0-0の場合　1/x→-∞、1/x^2→+∞　となりますが、1/x^2の方は分母のx^2が効いて1/xより遥かに早く且つ大きく+∞になって行きます。結局これが効いて、1/x→-∞のアプローチは1/x^2→+∞　にかき消されてしまい、両者の和の極限値は+∞となるということにんります。図形を描けば分かりやすいかも知れませんね。(x=1,x=0を漸近線とする双曲線グラフとなります)。

補足

丁寧なご回答ありがとうございます。
直感的にはわかりにくいのですが、
どうやら決まった手順で解けるようですね。
ただ、この部分分数への分解というのが
よく理解できません。

>1/(x^3-x^2)=1/{x^2(x-1)}=(Ax+B)/x^2＋C/(x-1)　
の(Ax+B)/x^2＋C/(x-1)の部分はどのようにして出てきたのでしょうか？

回答No.2

moby2002

>反比例のグラフを考えるとx->0+0とx->0-0で∞か－∞になると思うのですが

∞か－∞ではなく、∞と－∞だと思います。
ですので、自乗してしまうとどちらも∞です。

お礼

ありがとうございます。やっと問題の考え方が見えてきました。

補足

ありがとうございます。
∞か－∞　と　∞と－∞の
違いがイマイチわかりません。
反比例のグラフは右から0に近づくときと
左から0に近づくときでは値が違いますよね？
これは値が定まらないということではないでしょうか？

ただ、1/x^2のグラフを書いてみると0に近づくにつれて値は右からでも左からでも∞の方向にむかうようです。

回答No.1

tomtak

1/x^2の部分は、x->0+0、x->0-0のいずれの場合も∞になるのではないでしょうか？
（x^2は常に正なので）

一方、1/(x-1)の部分は、ｘ→０で負になるので、
全体で－∞になるのではないでしょうか？

お礼

ありがとうございました。日々精進していきたいと思います。

補足

迅速なご回答本当にありがとうございました。
そうですね、x^2ならば、必ず正になりますね、
でも、こう考えてみたんです、

1/x^2は1/xと1/xを掛けたものなので、
それぞれ別に考えてみます、
1/xの場合だと値は∞か－∞（反比例のグラフより）
もう一方の1/xも∞か－∞
これをもとにもどして考えると
1/x^2は∞か－∞をとると
考えることができてしまうような気がします。

この考え方を否定するにはどうしたらいいのでしょうか？