極限の値が求めたいのですが・・・

質問

次の式の極限が求められません。どなたか教えてくれませんか・・・。

limit(m→∞） √m *〔 (1+cosθ)/2〕~m　です。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

「(1+cosθ)/2」はmに無関係なので単なる定数と見做せる。

cosθ=1のとき
　(1+cosθ)/2=1なので
　limit(m→∞） (√m) *〔 (1+cosθ)/2〕^m
=limit(m→∞） (√m) *1^m
=limit(m→∞） √m =∞（発散）
cosθ<1のとき
　0≦a=(1+cosθ)/2<1なので
　limit(m→∞） (√m) *〔 (1+cosθ)/2〕^m
=limit(m→∞） (√m) *a^m (0≦a<1)
=limit(m→∞） (√m) /e^(m*ln(1/a))
=limit(m→∞） (1/(2√m))/((ln(1/a))e^(m*ln(1/a))) (ロピタルの定理適用)
　=(1/(2ln(1/a)))limit(m→∞）1/((√m)e^(m*ln(1/a)))
log(1/a)＞0なので
　=0

お礼

詳しくありがとうございます。
直観的には明らかでしたが、ちゃんと式に表せなかったので助かりました。

この問題に関連してもう一つ質問を立てますのでよろしければご覧下さい。
ルベーグの収束定理に関する質問です。

回答No.1

Mr_Holland

(1+cosθ)/2 = {cos(θ/2)}^2 ですので、 {cos(θ/2)}^2=a　(0≦a≦1) とおけば　√m*a^m　の極限を求めることになります。
　a=1(θ=2nπ, n:整数)のとき　m→∞ で極限は∞に発散しますが、
　0≦a<1(θ≠2nπ)のとき　a^m の方が早く0に近づきますので、√m*a^m　も0に収束します。

お礼

わざわざありがとうございます！

この問題に関連してもう一つ質問を立てますのでよろしければご覧下さい。
ルベーグの収束定理に関する質問です。