極限について

質問

lim_a→0(1+x)^(1/x)
という式に関して、１を何回（無限大回）べき乗しても１は１のような気がするんですが、答えはｅ（自然対数）になるみたいです。
極限と代入は違うと聞きますがどの辺が違うのでしょうか？
誰か詳しい人お願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

＞ １を何回（無限大回）べき乗しても１は１のような気がするんですが

気がするだけです。 1^∞ は、定義されません。
log をとってみると、log(1^∞) = ∞・log(1) = ∞・0 ですから、
1^∞ という表現には、0×∞ 型の不定形が潜んでいることが判ります。
1^∞ = e^{ log(1^∞) } = e^不定 = 不定 です。値は決まりません。

1^∞ の値が決められるならば、lim[(x,y)→(0,0)] (1+x)^(1/y) の極限が
求まることになりますが、そうでなくても、(x,y)→(0,0) の近づく経路が
x = y 上に限定されている場合に限っては、極限が収束するということが
ありえます。実際、lim[x→0] (1+x)^(1/x) は収束します。その値を
e と定義するのです。

お礼

分かりやすい説明ありがとうございます。
対数関数を用いた説明で納得することができました。
極限の知識があまりないため、単に代入するという事で今まで解決してきましたが、つきつめて考えると、奥が深いと感心してしまいました。
これから、べき乗に０や∞が出てくる時は気をつけるようにします。

回答No.1

1s-53aiz

質問に書かれている式がおかしいのでは？
aはなぜ出てくるのでしょうか？

補足

すみません・・・
aは、間違いです。ｘで置き換えてください。