命題を満たす最大の整数

質問

a>0とする。
命題「|x-a|+|y-a|≦aならばxの2乗+yの2乗　<5の3乗である。」が真であるような整数aのうち、最大のものを求めよ。

すみませんが解説をお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

もう少し、詳しく説明すると。

＞円の中心(-a、-a)と直線(1)との距離が　円(2)の半径以下であると良い。
点と直線との距離の公式から、円の中心と直線との距離＝｜3a｜/√2　であるから、｜3a｜/√2≦5√5

円の中心Ｐ(-a、-a)は、a＞0から第3象限の　β＝α　の上にある。
従って、｜α｜＋｜β｜＝a　が表す4つの線分の中で、点Ｐから最も遠いのは、α＋β＝a　である。
よって、点Ｐと直線：α＋β＝aとの距離が、円(2)の半径以下であると良い。と、いう事になる。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

一見して、置き換えに気がつく。

x-a＝α、y-a＝β　とすると、|α|+|β|≦a　‥‥(1)　のとき、(α＋a)＾2＋(β＋a)＾2＜5＾3　‥‥(2)　が成立する整数aの最大値を求めよ、という問題になる。

(1)と(2)をαβ平面上に図示すると、(2)が(1)に含まれると良いから、そのための条件を考える。
円の中心(-a、-a)と直線(1)との距離が　円(2)の半径以下であると良い。
点と直線との距離の公式から、円の中心と直線との距離＝｜3a｜/√2　であるから、｜3a｜/√2≦5√5
つまり、｜a｜≦5√10/3　であるから、整数aの最大のものは　a＝5

お礼

ありがとうございました

回答No.1

gohtraw

ｘ、ｙの値により場合分けすると
（１）ｘ－ａ＋ｙ－ａ＜＝ａ　ｙ＜＝－ｘ＋３ａ
（２）ｘ－ａ－ｙ＋ａ＜＝ａ　ｙ＞＝ｘ－ａ
（３）ａ－ｘ＋ｙ－ａ＜＝ａ　ｙ＜＝ｘ＋ａ
（４）ａ－ｘ－ｙ＋ａ＜＝ａ　ｙ＞＝－ｘ＋ａ
詳細は省きますがこれらを総合すると、「|x-a|+|y-a|≦aを満たす領域は、
（ａ，０）、（０，ａ）、（２ａ，ａ）、（ａ，２ａ）を頂点とする正方形になります。この辺りはご自分で図を描きながら考えてみて下さい。この領域内の点のうち、原点から最も遠い点がx^2+y^2<5^3＝125という領域（円の内部）にあればいいわけです。
精査はしていませんが、（ａ，２ａ）および（２ａ，ａ）が原点から一番遠く、
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ａ＾２＋４ａ＾２＝５ａ＾２＜１２５
ａ＾２＜２５
ａ＞０なので
ａ＜５
が解だと思います。

お礼

ありがとうございました