整数問題（だと思います）

質問

x2（二乗）－11x－1が整数の平方になるようなxの正の整数値を求めよ、って問題で、x2（二乗）－11x－1＝y2（二乗）とおいて式変形して答えが求められると思ってやってみても無理なんですが、どーやったらいいか教えてください！！ちなみに、11から一つずつ試したら、x=13の時に25となり一応答えは出ましたが多分ほかにもあるはずなんでお願いします<m(__)m>

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

x^2-11x-1=y^2
双曲型なので，積＝定数　の形の変形でしょうね．
x^2-11x-y^2=1
(x－11/2)^2-y^2=1+(11/2)^2
整数問題なので４倍して
(2x-11)^2-(2y)^2=125
(2x+2y-11)(2x-2y-11)=125[=5^3]
ここで左辺の２つの因数の差は偶数4yで
2x+2y-11＞2x-2y-11
に注意して右辺の分解を考えては？

ミスがあればご指摘下さい．

お礼

分かりやすい説明ありがとうございました<m(__)m>やっと答え出ました♪

回答No.5

mmky

oshiete_gooさんほかの回答がありますので、
楽しい数字の見つけ方のみの参考まで
例えば、
x＾2－11x－1=n＾2
と置いて、x について解きますと、
x={11±√{11＾2+4(1+n＾2)}}/2
A=√{11＾2+4(1+n＾2)} と置けば、A>11以上の奇数値になります。
また、x は正の整数からx={11+√{11＾2+4(1+n＾2)}}/2
A＾2={11＾2+4(1+n＾2)}
n＾2={(A＾2-11＾2)/4}-1 ={(A-11)(A+11)/4}-1
(A-11)が4で割り切れる数とすれば、
A=15 が条件を満たします。次はn＾2 だから4倍のA=60前後で見つければ
A=63に見つかります。それ以上は＃２のコメントからないなとやれますかね。
A=15, n=(4*26/4)-1=25=5＾2 →x={11±15}/2=13, -2
A=63, n=(52*74/4)-1=961=31＾2　→x={11±63}/2=37, -26
だから、13,　37　
参考程度のみですよ。

お礼

お～こんなやり方があるなんてすごいですね♪でもちょっと難しい（汗）
ありがとーございました<m(__)m>

回答No.4

oshiete_goo

＃１の補足です．
右辺を　y^2　とおいたとき，xを求めるのには一般性を失うことなくy≧0の場合を求めれば十分でしょう．
[たとえば，もし(左辺)＝25 なら　±√25＝±5　のどちらの平方にもなっていますが，－5の方はあまり意味はない．]

すると，x＞０，y≧０のもとに(＃１ではｙ＞０と等号を抜いてしまいましたが，手抜きでした[ｙ＝０は見るからに整数解xにならない])

(2x+2y-11)(2x-2y-11)=125
より，
2x+2y-11≧2x-2y-11
に注意して積が125になる組を全て求めると
(2x+2y-11，2x-2y-11)=（125，１），（25，5）,（-5,-25），（-1，-125）
が考えられますが，実際に解いてみると，x＞０の条件より，はじめの２つだけが適します．

お礼

そーいえば「整数」と書いてあるだけなら、yが負の数になることもあるんですね（汗）普通にyは正の値として考えてました（笑）
でも答えは結局正の値だけなんでよかったです(^^♪

回答No.3

inazu

考え方はNo.1のとおりでほぼOKです。
(2x+2y-11)(2x-2y-11)=125
からは,次のようにすると理解しやすいと思います。
x,yは整数値であるから2x+2y-11,2x-2y-11はともに整数。
よってこれらの積の組み合わせを考えると次の4つが考えられます。
(1)　2x+2y-11=125,2x-2y-11=1
(2)　2x+2y-11=1,2x-2y-11=125
(3)　2x+2y-11=25,2x-2y-11=5
(4)　2x+2y-11=5,2x-2y-11=25
この4つの連立方程式をそれぞれ解いていくと解がx=13,37と求まります。

回答No.2

oshiete_goo

x＞０の条件から，結局あと１つしかなさそうですね．