【至急】数学の命題について

質問

【至急】数学の問題です。

次の命題の真偽を調べて、真ならば(0)、偽ならば(1)をマークせよ。ただし、文字はすべて実数とする。

(1) x^2=y^2 ならば x^3=y^3 である。

(2) x^2-2x-8≦0 ならば |x-3|+|x+1|≦6 である。

(3) 四角形ABCDにおいて、sinＡ=sinＣ, sinB=sinD ならば 四角形ABCDは平行四辺形である。

(4) a>2, b>2 ならば ab>a+b である。

この問題の回答と解説をどなたかお願いします。

回答No.1

noname#173903 · ベストアンサー

一応解いてみましたが、
自信がある訳では無いので参考程度にして下さい。

(1)x=1,y=-1など符号が異なる時に成り立たないので偽。

(2)
x^2-2x-8≦0　⇔ (x-1)^2≦9　⇔ |x-1|≦3
これをxが1より大きい時と小さい時に分けて解くと、
-2≦x≦4となります。

-2≦x＜-1の時、|x-3|+|x+1|=-(x-3)-(x+1)=-2x+2
x=-2の時に最大値6をとる。

-1≦x＜3の時、|x-3|+|x+1|=-(x-3)+(x+1)=4

3≦x≦4の時、|x-3|+|x+1|=(x-3)+(x+1)=2x-2
x=4の時に最大値6をとる。

以上より、いずれの場合も6を超えないので命題は真。

(3)
四角形ABCDのABCDがどの頂点に対応しているのか
良く分からないので明確な回答はできませんが・・・

頂点Aに対応する内角と頂点Cに対応する内角が等しいか、
もしくはそれぞれの和が180度となるような組み合わせでは、
sinA=sinCが成り立っています。

もしA,CとB,Dがそれぞれ同じ対角線上にある場合は、
対角がそれぞれ60度、120度の台形でも
sinＡ=sinＣ, sinB=sinD の条件を満たす事ができるので、
命題は偽となります。

(4)
abとa+bの大小比較を分かりやすくする為、
双方をabで割ってみます。
(この操作によって大小関係は変化しません)
そうすると、1と1/a+1/bの比較になりますが、
a>2, b>2より、
1/aと1/bはどちらも1/2より小さくなるので、
足し合わせても1に届きません。
したがって真。