命題 裏の真偽

質問

数学Iで与えられた命題「xy=0 ならば x=0 かつ y＝0」…(△)は偽である。
(△)の逆「x=0 かつ y=0 ならば xy=0」……真である。
(△)の裏「xy≠0 ならば x≠0 または y≠0」…真である。

(△)の裏は(△)の逆の対偶ということで真とされて参考書の答えになっていたのですが、
この(△)の裏は偽だと思います。反例 x=1,y=0のときxy=0 になってしまいます。
参考書の間違いなのか、私の考え方が間違っているのかコメントください。

回答No.2

MagicianKuma · ベストアンサー

>この(△)の裏は偽だと思います。反例 x=1,y=0のときxy=0 になってしまいます。
反例になっていませんよ。　P　⇒　Q　の反例を示す場合、Pは満たすが、Qを満たさない例をもってこないと。
今回は、xy≠0 ならば x≠0 または y≠0　の反例を示したいのだから
xy≠0を満たして、 x≠0 または y≠0　を満たさない例を探さないと。（実際は見つかりません）

以上

お礼

回答ありがとうございます。なるほど。最初の条件が筆頭にあるということですね。ありがとうございます。まさにプロフェッショナルの仕事ですね。分かりやすいです。反例の意味分かりました。

回答No.1

asuncion

＞(△)の裏「xy≠0 ならば x≠0 または y≠0」…真である。
＞この(△)の裏は偽だと思います。

「xy≠0 ならば x≠0 または y≠0」 …… (※)
この命題の対偶を考えてみましょうか。
対偶は、「x=0 かつ y=0ならば、xy=0」です。
これは明らかに真です。
ある命題の真偽は、その命題の対偶の真偽と一致します。
対偶である「x=0 かつ y=0ならば、xy=0」が真ですから、
もとの命題(※)は真です。

お礼

回答ありがとうございます。