流体力学・質量保存則について

質問

とある教科書の章末問題です。

control volumeの質量をMとして以下の式を導出せよ。
∂M/∂t + ∬[c.s.]dm・=0
([c.s.]は下付き文字です。control surfaceだと思われます。dm・はmの上に・が付いています。)

第一項が蓄積なので、第二項は流出、流入だと思うのですが…。
第二項の意味がいまいちつかめません。

まず、dm・というのは質量の時間微分という解釈でよいのでしょうか？
そして、それをc.s.、つまり表面で積分するというのはどういうことなのでしょうか？

回答をお待ちしております。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

体積積分と面積分（表面積分）を、∫dv，∫dsと書きます。さらに流体（質量）密度をρとして、

　　Ｍ＝∫ρdv　　(1)

ですよね？。ここで体積積分の積分領域はＶ（control volume）とします（省略してますが）。さらに、Ｖの表面をＳ，流体の流速ベクトルをuとすると、Ｖの表面Ｓからの質量の流出速度は、

　　∫ρu・ds　　(2)

になります。ここで、・は内積を表し、dsはＳの面素ベクトルです。面素ベクトルは、Ｓの外法線単位ベクトルに、Ｓの面素da（aは面積Areaの頭文字で、面素はスカラー）をかけたものです。

　(2)は、Ｓを横切って流れ出す、Ｖからの単位時間当たりの質量流出量なので、Ｍとの関係は、

　　∂/∂t(∫ρdv)＋∫ρu・ds＝0　　(3)

になるはずです。これが、ご質問の式と思います。そうすると、dm・は、

　　dm・＝ρu・ds

という省略記法でないか？、という気がします。単位は質量の時間微分ですが、質量流出量の時間微分（質量流出速度）という意味です。

お礼

質量流出量の時間微分ですか…。
回答ありがとうございました！

回答No.2

yokkun831

連続の方程式を体積積分するだけではないでしょうか？

∂ρ/∂t + ∇・(ρv~) = 0
すなわち，
∫[c.v.]∂ρ/∂t dV + ∫[c.v.] ∇・(ρv~)dV = 0

第１項の体積積分と時間微分は順序交換が可能で，また，第２項にガウスの定理を適用して，

∂/∂t∫[c.v.]ρdV + ∫[c.s]ρv~・dS~ = 0

∴∂M/∂t + ∫[c.s] dm・　= 0

dm・=ρv~・dS~　は，境界面からの流出速度を表していると思います。

お礼

流出速度で良いのですね。
回答ありがとうございました！