力学的エネルギー保存

質問

ご覧頂きありがとうございます。

力学的エネルギー保存の問題だと思うのですがよくわからず困っています。

質量mのボールを高さhまで持ち上げてそっと離す、その後の運動について答えてください。
なお、ボールを離した位置を原点として鉛直下向きにx軸をとる。重力加速度をgとして空気抵抗は無視する。

(1)ボールの運動方程式を立ててください

下向きに軸をとるのでmx''=mg

(2)運動方程式を解いてボールの位置と速さを時間の関数として表してください。

v=gt+C 初期条件よりv=gt
x=1/2gt^2+C 初期条件よりx=1/2gt^2+h

(3)ボールが座標xの高さまで落下したとき速さvであるとして力学的エネルギー保存を表す式を立ててください

1/2mv^2+mgx=mgh

(4) (1)の運動方程式に仕事の定義を当てはめて(3)の式になることを示してください。

仕事の定義ってW=Fxですか？よく分かりません。

(5) (2)から時間変数を除去することで(3)の式になることを示してください。

v=gtよりx=v^2/(2g)+h
(3)から遠くかけ離れてしまいました。

(6)　(3)の式を微分方程式とみなし、これを解いて物体の位置と速度を時間の変数として表してください。またそれが(2)と一致することを示してください。

とても困っています、よろしくお願いします

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

(2) x の定義に注意してください。初期条件は t = 0 で x = 0 です。よって
x = (1/2)g t^2。

(3) ここでも x の定義に注意してください。位置エネルギーは - m g x。初期条件は t = 0 で x = 0 かつ v = 0。よって
(m/2)v^2 - m g x = 0。
あるいは
(m/2)v^2 = m g x。

(4) m x'' = m g の両辺に速度 x' をかけると
m x' x'' = m g x'。
この左辺は (m/2){(x')^2}' と書けますから、運動エネルギーの時間的変化率であることがわかります。右辺は重力がする単位時間当たりの仕事（仕事率）です。よって、この式は単位時間当たりに重力がする仕事が、単位時間当たりの運動エネルギーの増加に等しいという関係を表します。これを時間に関して積分すると、
∫(m/2){(x')^2}' dt = ∫m g x' dt、
(m/2)(x')^2 = m g x + C1。　（C1 は積分定数）
t = 0 で x' = 0 かつ x = 0 なので、 C1 = 0。よって
(m/2)(x')^2 = m g x、
(m/2)v^2 = m g x。
左辺はボールの運動エネルギーの増加量であり、右辺は重力がボールにした仕事の量です。

(5) v = g t より、 t = v/g。これを x = (1/2)g t^2 に代入すると、
x = (1/2)g (v/g)^2 = (1/2)v^2 /g、
(1/2)v^2 = g x、
(m/2)v^2 = m g x。

(6) (1/2)(x')^2 = g x、
x' = ±(2 g x)^(1/2)。
いまは x' > 0 の場合を考えているので、
x' = (2 g x)^(1/2)。
変数分離して積分します。
dx / x^1/2 = (2 g)^(1/2) dt、
2 x^(1/2) = (2 g)^(1/2) t + C2。　（C2 は積分定数）
t = 0 で x = 0 なので、C2 = 0。よって
x = (1/2)g t^2。
x' = g t。
v = |x'| = g t。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
資料をみてもよく分からなかったので助かります。