複素関数の問題で質問です。

質問

複素関数の問題で質問です。

tan(Z)の極Zk={k+(1/2)}π,(k=0,1,2,...)は一位の極であることを示せ。

という問題です。

Zkがtan(Z)の極になるということはわかるのですが、一位の極というのはどう示せばよいのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

z=zkでtan(z)をローラン展開して(z-zk)^(k)のk≦-2の項がないことを示せばよい。
つまり
tan(z)(z-zk)^kがk≧2以上で0となることを示せばよい。

tan(x)(z-zk)をz=zkでローラン展開すると

tan(x)=-1/(z-zk)+(1/3)(z-zk)+(1/45)(z-zk)^3+(2/945)(z-zk)^5+ …
となります。
なのでz=zkが1位の極ということが分かります。