※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：剰余の定理）
剰余の定理についての解説
このQ&Aのポイント
剰余の定理について解説します。正の整数ｎとｍに対して、(x^n)を(x^2+x+1)で割った余りを求める問題です。
解答方法は、nを３で割った余りによって場合分けをして考えます。余り０の場合は、(x^3m)=(x^3m-1)+1となり、余り１の場合は(x^3m+1)=(x(x^3m-1))+x、余り２の場合は(x^3m+2)=(x^2(x^3m-1))+(x^2+x+1)-x-1となります。
質問者さんが疑問に思っている点は、「(x^3m-1)」の部分の出所についてです。解説しますと、剰余の定理において、３で割った余りによって表される指数の値に対応して、余りを求めるための式を考えます。そのため、(x^3m-1)が出てきたわけです。
ｎ、ｍは正の整数で（x^nを、x^2+x+1で割った余りを求める問題）なんですが、
x^3m=(x^3-1)Q(x^3)+1を利用して！答えを出す問題なんですが、いまいちよくわかりません。よろしければ、解説お願いします。
解答には、
nを、３で割ったとき、余りが０の時は、x^3m=(x^3m-1)+1 で、余り１
nを、３で割ったら、余りが1の時、x^3m+1=x(x^3m-1)+x で余りｘ
nを、３で割ったら、余りが2の時、x^3m+2=x^2(x^3m-1)+(x^2+x+1)-x-1 で余り１である。
とあるのですが、
(1)(x^3m-1)がどこから出てきたのかわかりません。解説していただけないでしょうか？
x^3m=(x^3-1)Q(x^3)+1なっているので、3mは、3m,3m+1,3m+2でｎを表せるから、増えた指数の分だけ、掛けてやれば、それが、求める余りだということだと思うのですが、そう考えることを前提に、僕なりに下にあるように解いてみたんですが、なんで違うのかがわかりません。
n=３mのとき、
x^n=x^3m=(x^3-1)Q(x^3)+1
だから余りは、１
n=3m+1 のとき
x^n=x^3m+1=x(x^3-1)Q(x^3)+x・1 だから、余りは x
n=3m+2の時、
x^n=x^3m+2=x^2(x^3-1)Q(x^3)+x^2・1=x^2(x^3-1)Q(x^3)+(x^2+x+1)・1+(-x-1)
だから、余りは (-x-1)
では、駄目なんでしょうか？
忙しい中、申し訳ないですが、ぜひ、解説、ご指導よろしくお願いいたします
お礼
早々とありがとうございます。 このような、すっきりした気分に浸れるのは、数学特有だと思います。 それに気付かせていただけました。 このたびは、忙しい中、回答本当にありがとうございました。 また、よろしくお願いします。