極限の問題の解き方について

質問

a >0のとき、lim (a^1/n)　= 1（n→∞）を示せという問題を、t= 1/n　(t→0)とおいて、
lim (a^1/n) = lim (a^t)= 1 (n→∞，t→0)と解いたのですが、この解き方で合っていますか。間違っている点があったら指摘をお願いします。
また、教科書ではこの問題をa=1 , a > 1 , 0 < a < 1の3通りに場合分けをして、複雑に解いているのですが、それはなぜですか。
どなたか分かる方がいらっしゃいましたらよろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

a>0のとき,指数の定義から
a^0=1
である事はいえますが、
lim_{t→0}a^t=a^0
は指数の定義から直接にはいえません。
質問者の解き方は
a>0のとき,lim_{t→0}a^t=a^0(関数f(t)=a^tはt=0で連続である事)
が成り立つ事の根拠を示していない点が間違っています。

教科書では
t=1/nに限定して
lim_{n→∞}a^{1/n}=1
が成り立つ事を示した後これから、
lim_{t→0}a^t=1
を示すという順序になっていると思われます。