長野県の高校入試問題です

質問

「　１辺の長さが５cmのひし形ＡＢＣＤがあり、対角線ＢＤ＝８cmである。辺ＡＢを１辺とする正三角形ＥＢＡをつくる。さらに、点Ｐを線分ＢＤ上にとって、ＰＡを１辺とする正三角形ＱＰＡをつくり、点ＥとＱ、点ＰとＣを直線で結ぶ。ただし、点Ｐは、点Ｂ、Ｄとは異なる位置にあり、点Ｑは直線ＰＡについて点Ｅと同じ側にあるものとする。点Ｐを、ＥＱ+ＱＰ+ＰＣの長さが最小になるようにとるとき、ＥＱ+ＱＰ+ＰＣの長さを求めよ。　」
答えは　　４+３√３　　とわかっていますが、なぜそうなるのかが解りません。
下手な図で済みませんが、点Ｐは線分ＢＤ上にあります。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

EQ+QP+PCが最小になるのはEQCが一直線になる時です
ECの長さを求めればいいわけです
△AECについて考えます
正三角形QPAの１辺をxとします。また△AECの頂点AからECに垂線をおろしHとすると
△AHPは正三角形の半分なので30°60°90°の直角三角形よりHP=x/2,AH=√3x/2になります
またAP=PCよりPC=x,AC=6（これはAB=5,BD/2=4から）HC=HP+PC=3x/2
△AHCに三平方の定理を使い
AH^2+HC^2=AC^2
(√3x/2)^2+(3x/2)^2=6^2
(3x^2)/4+(9x^2)/4=36
(12x^2)/4=36
3x^2=36
x^2=12
x=2√3になります
これより
HC=(2√3)×(3/2)=3√3
AH=(2√3)×(√3/2)=3
△AEHはAH=3,AE=5よりEH=4になります

以上よりEC=EH+HC=4+3√3--->最小になるEQ+QP+PCの値です

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に、次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。

回答No.2

kenjoko

No.１さん、教えて下さい。

面白そうなので私も挑戦してみました。

＞EQ+QP+PCが最小になるのはEQCが一直線になる時です
　ECの長さを求めればいいわけです

私は点E、Q、P、Cが同じ直線上にあるとき・・(1)と考えましたが、点Pはこの直線上に
なくともよいということでしょうか。

(1)のとき、

線分ECとBDの交点をPとして、AP=AQとなる点をEC上にとりましたが、

⊿QPAが正三角形であることを示せず、ここでダウンしました。

これがクリアできれば、後は何とかなるのですが。

＞正三角形QPAの・・・

このとき、点P,Qをどのようにとったか教えてください。

やはり、点Pの位置は関係ないのでしょうか。

ごめんなさい、暇なときにでも。

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。