線形代数の固有値の問題がわかりません。

質問

線形代数についての以下の問題がわからないので、過程も含めて解答を教えて下さい。

実2次形式Q(x)= 　Σn i=1 Σn j=1 (hij xi xj)、hij = hji (∀i,j = 1,2,...n)とする。Σn i=1 xi^2 = 1 の条件のもとで、Q(x)の最大値は係数行列H=(hij)の固有値の最大値と一致することを証明せよ。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

A=(h[i,j])とおくと、Aは実対称行列。vx = [x[1], x[2], ..., x[n]]^t (^tは転置）とおけば、 Q[x] = x^t A x となる。

Aは実対称だから、とある直交行列Pによって対角化できる。
P^{-1} A P = diag(L[1], L[2], ..., L[n]) とし、（よって、L[1], L[2], ..., L[n]はAの多重度を含めた固有値）右辺をBとおけば、A=PBP^{-1}であって、P^{-1} = P^tであるから、P^t = Rとおけば、Q[x] = (Rx)^t B (Rx)。

Rx = [y[1], y[2], ..., y[n]]^t とおけば、Q[x] = Σ_[1≦j≦n] L[j] (y[j])^2。|x|=1なら、|R(x)|^2 = (Rx)^t Rx = x^t R^t R x = x^t x = 1となり、Σ_[1≦j≦n] (y[j])^2 = 1となることに注意。

後は、L[i] 達の中で最大のもの（従ってAの固有値の中で最大のもの）をLとし、i= 1,2,..., nの中でL[i] = Lとなっているものの一つをkとおく。

するとΣ_[1≦j≦n] (y[j])^2 = 1の条件で、Q[x] = Σ_[1≦j≦n] L[j] (y[j])^2 ≦ Σ_[1≦j≦n] L (y[j])^2 = L。
逆にRx として、k行目だけ1、あとは0となるものを取れば（xの形に戻すには、当然R^{-1}を掛ければよい）、このRxに対してQ[x] = L となる。従って Q[x] は実際にLの値を取り、これがQ[x]の最大値であることが分かる。