線形代数

質問

行列に関する問題でわからない問題がいくつかあります。
(1)任意の2次実対称行列Aに対して、B^3=Aとなる実2次行列B
が存在することを示せ。
(2)次の命題が正しければ証明し、正しくなければ反例をあげよ：
任意の実2次行列Aに対してB^3=Aとなる実2次行列Bが存在する。
(3)整数を成分とする2次正方行列AのべきA^nがn→∞のとき収束するならば、
A^2は零行列であるかまたはA^2=Aであることを証明せよ。

以上です。よろしくお願い致します。

回答No.3

nobuyuki0505 · ベストアンサー

(3)です。
A=
(a,b)
(c,d)
とし、p=-(a+d), q=det A=ad-bc
とおきます。

まず、q≠0であるとします。
このときは、
det A^n=q^n
は収束し、またqは整数であるので、q=1を得ます。
A^nがBに収束するとすれば、
B^2=Bを満たし、det B=q^n=1
となります。
これより、B=Iを得、
AB=Bを満たすはずなので、A=Iを得ます。

次にq=0のときを考えます。
ケーリー・ハミルトンの公式より、
A^2+pA=0
となります。
ゆえに、
A^n=(-p)^(n-1)A
となり、A≠0であれば、これが収束することは、
(-p)^(n-1)が収束することと同値です。

pは整数であることから、p=0, -1を得ます。

p=0の場合は
A^2=0,
p=1の場合は
A^2=A
となります。

以上より、証明終了です。

お礼

大変丁寧に教えていただきありがとうございました。

回答No.2

nobuyuki0505

(2)正しくないので、反例をあげます。
A=
(0,1)
(0,0)

とします。

いい説明が思いつかないので、Jordan標準形を使います。

Aは対角化不可能なので、Bも対角化不可能である。

Jordan標準形の知識より、
B=PΛP^(-1)

Λ=
(a,1)
(0,b)

の形にできる。

簡単な計算で、

Λ^2=
(a^2,a+b)
(0,b^2)

Λ^3=
(a^3,a^2+ab+b^2)
(0,b^3)

を得る。

Λ^3=P^(-1)AP
であるから、
P=
(w,x)
(y,z)
とおけば、

P^(-1)AP=1/detP ×
(wy,z^2)
(-y^2,-yz)

よってΛ^3=P^(-1)APより、

y=0,a=b=0を得る。

これはy=z=0を意味し、Pが可逆であることに矛盾。

よって、B^3=A

を満たすものはない。

ジョルダンを使わないと、かなり計算が複雑になりそうです。

回答No.1

nobuyuki0505

前提知識がなければ答えられないですね。

(a)対角化可能を使ってもよいのか？
(b)実対称行列は対角化可能を使ってもよいのか？

などの前提が必要です。

以下の解説は、(a)(b)を認めて説明します。

(1)Aは対称行列なので対角化可能。
A=PΛP^(-1)
Λ=
(a,0)
(0,b)

ここで、a,bは実数なので、その3乗根が一意に存在する。
ゆえにその3乗根3√a,3√bを用いて、(3倍ではなく3乗根です)

R=
(3√a,0)
(0,3√b)
とおき、

B=PRP^(-1)

とすれば、B^3=Aを満たす。

(2)(3)は後ほど。