因数分解の問題がわかりません

質問

疑問をすぐに解消したく、二度も失礼します。

x^4-6x^2+1という問題なのですが、ここからどうしたら(x^2-1)^2-4x^2になるのかがわかりません。その次の式の(x^2-1)^2-(2x)^2は、4x^2が2x^2の二乗だとわかるのですが…

同じような問題で、a^4+3a^2b^2+4b^4という問題の次の式が(a^2+2b^2)^2-a^b^2
にどうやったらなるのかがわかりません。

そこの間の式で、どう因数分解したらこのような式になるのかを、わかりやすく解説をどうかお願いします…

回答No.6

laputart · ベストアンサー

x^4-6x^2+1において　A=x^2と置きます
A^2-6A+1
=A^2-2A+1-4A
=(A-1)^2-4A

ここでAをもとに戻します
(x^2-1)^2-4x^2
=(x^2-1)^2 - (2x)^2
=(x^2-1+2x)(x^2-1-2x)

●ポイントはA^2-6A+1 はこのままでは因数分解出来ないので
６Ａを２Ａと４Ａに分けた所です。 Ａがx^2とわかっているので後で
和と差の積の公式
a^2 - b^2 = (a+b)(a-c)が使えそうだと考えます。
2Aはそのまま平行完成に使います（A^2+2A+1)
この当りは試行錯誤もありますが、問題は必ず因数分解出来るのですから
こんな手段があるということです。

回答No.5

eco1900

【補足】が入ってたので、答えておきますね^^。

＞(x^2-1)^2-(2x)^2まではわかったのですが、そこからどうやったら(x^2-1+2x)(x^2-1-2x)になるのかがわかりません…

「(x^2-1)^2-(2x)^2」で・・・
　（ｘ＾２-1）は、Aとして　　（２ｘ）は、Bとして・・・一度書き換えてみますよ。

すると、A^2－B＾２　ですね。

これから、基本公式の・・・（A＋B）（A－B）

・・・あとは、もう一度、AとBを元の姿に書き直しただけです。

回答No.4

B-juggler

はいこんばんは。

う～んと、実は答えを書いてあるんですよ　Σ('◇'*)エェッ!?

気がつかれてないだけ♪　４ｘ＾２　＝　（２ｘ）＾２　だということはわかってあるわけで。

ｘ＾４　－　６ｘ＾２　＋１　＝　（１）　としておきます。

ｘ＾２＝Ｘ　とおきましょう。

（１）＝　Ｘ＾２　－　６Ｘ　＋１　となりました。

これは　　（Ｘ－１）＾２　＝　Ｘ＾２　－２Ｘ　＋１　に　４Ｘ足りませんから、

（１）＝（Ｘ－１）＾２　－　４Ｘ　＝（ｘ＾２　－１）＾２　－４ｘ＾２

　　　＝（ｘ＾２　－１）＾２　－　（２ｘ）＾２　，，　となりますね。

意外と、言われてみると簡単でしょう？

最後の　（２ｘ）＾２　は　４ｘ＾２　でいいんですよ。なんとなくくくってあるだけ♪

ａ＾４　＋　３ａ＾２　×（２ｂ＾２）＋４ｂ＾４　＝　（２）

も　考え方は同じです。

せっかく　（２ｂ＾２）でくくってあるのですから、使ってみましょう♪

Ａ＝ａ＾４　Ｂ＝２ｂ＾２　とおいて、　（Ａ＋Ｂ）＾２＝？？

とやってみましょう！　答えを全部書くわけにも行かないから、

あとは計算してみてね～。　と言っても答え書いているようなものなんだけど。

ダイジョウブ、落ち着いて、ゆっくりゆっくり。

あわててもいいことないよ～。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

eco1900

もう一つの質問式の因数分解は、がんばってください＾＾v。

お礼

置き換えを使うと非常にわかりやすいですね…
参考にしつつ、途中段階を頑張ってみます！ありがとうございました！

回答No.2

eco1900

「複次式」と言われるもので、たいそうに聞こえますが扱い方は割と簡単ですよ^^。
　＊添付しおた【画像（分割２枚）】とともに焦らずに読み進めてください^^A。
　＊(1)、(2)は、【画像】内のそれと同じことを示しています。
　＊【画像】は見づらい場合は「右クリック→拡大」で試してください。

まず、質問の第一式「x^4-6x^2+1　(1)」ですが・・・「x^2」と一つの塊として「（仮に）A」とします。

こうすることで、更に高次項の「x^4 →(x^2)^2 →A^2」とすることができますね。

ということで・・・(2)式

次に、この(2)を何とかして「（平方形）－（平方形）」にする工夫をします。
（こういうのは、先人の方の見よう見まねで結構です。そうやって閃き力を鍛え抜かれていくものですから^^A。）

初項の「A^2」と末項の「+1」から・・・→取りあえず、強制的に「(A+1)^2」や「(A-1)^2」としてみましょう。
　＊つまり「(和形)^2」や「(差形)^2」を強引に利用しようとします。

(2)から
　　→「(和形)^2」として「(A+1)^2」としてみますね^^A。
　　→この結果(3)の式・・・うまくいきませんでした、・・T_T)

では、今度は・・・
初項の「A^2」と末項の「+1」から・・・→取りあえず、強制的に「(差形)^2」として「(A-1)^2」としてみましょう。

(2)から
　　→「(差形)^2」として「(A-1)^2」としてみましょう。
　　→この結果(4)式・・・今度はうまくいきそうです^^v。

ということで・・・

(4)から、そろそろ「A」を元に戻すと、「（平方形）－（平方形）」が生まれそう。（(5)式）
　　→あとは、基本的公式でもありますが・・・（●＋△）（●－△）と最後の「因数分解」へと追い込みGo！^^A。

　　・・・それから、次はというと
　　　って、そろそろお気付きになられているでしょうから・・・この辺でお開きにしておきますね^^A）

話が長くなりましたが、次の問題式「a^4+3a^2b^2+4b^4　(6)」でも
上と同じような発想で着眼してみてください。
・・・きっと解決への糸口をつかんで最後は脱出できると信じていますよ^^ｖ。
　　（＊少しだけヒント付けておきましたから^^A）

補足

丁寧な回答ありがとうございます！（＞_＜）
(x^2-1)^2-(2x)^2まではわかったのですが、そこからどうやったら(x^2-1+2x)(x^2-1-2x)になるのかがわかりません…
せっかく答えてくださったのに申し訳ないです…

回答No.1

DJ-Potato

x^4 - 6x^2 + 1
= x^4 - 2x^2 + 1 - 4x^2
= (x^2 - 1)^2 - 4x^2
= (x^2 - 1 - 2x)(x^2 -1 + 2x)

a^4 + 3a^2b^2 + 4b^4
= a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - a^2b^2
= (a^2 + 2b^2)^2 - a^2b^2
= (a^2 + 2b^2 - ab)(a^2 + 2b^2 + ab)

補足

お早い回答ありがとうございますm(_ _)m
せっかく答えていただいたのに、わたしの頭の弱さゆえ問題の第一式の二段落目で、問題の「-6x^2」が消えているのは「-2x^2」と「-4x^2」に分解しているからなのでしょうか？そこがわからないです…（-2x^2と-4x^2を足すと-6x^2だから…
問題の第二式も、問題から次の式に移る方法がわかりません。3a^2～はどこへ行ってしまったんでしょうか…？
もしそこに省いても大丈夫な簡単な式があれば、その式も教えていただきたいです
せっかく回答をくださったのに申し訳ありません…