直交変換はノルムを保つ

質問

教科書に

「線型変換 f について、f が直交変換であるための必要十分条件は f がノルムを保つことである」

という定理が載っているのですが、どうも理解できません。

教科書には簡単な証明が載っており、

「f が直交変換ならば、明らかに f はノルム(長さ)を保っている」と記載されています。

直交変換とは内積も保つような線型変換のことですよね？

内積を保つ = ノルム(長さ)を保つ ということが明らかとなる説明をどなたかお願いします。

私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。

よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

＞教科書には簡単な証明が載っており、

証明が載ってるならそれで問題ないんだけど・・・

＞私は、内積を保っても、なす角が保たれなければ、ノルム(長さ)も保たれないと思ってしまいます。。。

内積を保つということは，なす角も保つんです．
ここでポイントなのは
「任意の異なるベクトルに対して内積を保つ」という
「任意性」です．

二つのベクトルをv,wがあれば，そ
の方向の単位ベクトルe1=v/|v|, e2=w/|w|の
内積はなす角θのcos(θ)，つまりなす角そのものであり
内積が保たれることは，すなわちなす角の保存
＃これは矢印ベクトルに限らず一般のベクトルでOKなのは
＃シュワルツの不等式（だっけ？）でOKでしょう

fが直交変換であることの定義は (f(v),f(w)) = (v,w)
vのノルムの定義は |v|^2 = (v,v)
だから
|f(v)|^2 = (f(v),f(v))=(v,v)=|v|^2
逆に，任意のxに対して（ここ重要．xは任意）
|f(x)|=|x|であるようなfに対しては
2(v,w)=|v+w|^2-|v|^2-w|^2
より
2(f(v),f(w))=|f(v)+f(w)|^2 - |f(v)|^2 - |f(w)|^2
=|f(v+w)|^2- |f(v)|^2 - |f(w)|^2 (fの線型性を利用)
=|v+w|^2-|v|^2-w|^2
=2(v,w)

たぶん「証明」もこんな感じでしょう．

お礼

fが直交変換であることの定義は、

(f(v),f(w)) = (v,w)

であることは認識あったのですが、

(f(v),f(v))=(v,v)

でもあるとう認識が抜けていました。

これによって、ノルムを保つのは明らかで、ここからなす角が保たれるのも理解できました。

つまり、直交変換はなす角もノルム(長さ)変えない線型変換であり、直交変換であるための必要十分条件はノルムを保っていることだけでよいというのが証明内容ですね。

ありがとうございました。

回答No.6

noname#130496

すみません
#5で誤記

誤
(1) OPの長さ=OQの長さ、
(2) OP'の長さ=OQ'の長さ。

正
(1) OPの長さ=OP'の長さ、
(2) OQの長さ=OQ'の長さ。

回答No.5

noname#130496

>内積を保つ = ノルム(長さ)を保つ ということが明らかとなる説明

「内積を保つ⇒ノルムを保つ」は#1によって明らかなので「ノルムを保つ⇒内積を保つ」の図形的な説明を。

線形変換fがノルムを保つとすれば、角も保つことを言えばいい。
平面上の点で考えると、2つの点PとQがfによって原点Oからの距離をそれぞれ保ったままP'とQ'に移される。

(1) OPの長さ=OQの長さ、
(2) OP'の長さ=OQ'の長さ。

位置ベクトルOPとOQの和をOR、
位置ベクトルOP'とOQ'の和をOR'とすると
fの線形性よりRはR'に移される。
従って

(3) ORの長さ=OR'の長さ。

(1)(2)(3)より平行四辺形POQRとP'OQ'R'が合同（潰れた平行四辺形=線分の場合も含めて）。
よって
∠POQ=∠P'OQ'。

お礼

回答ありがとうございます。
なぜ、

(1)(2)(3)より平行四辺形POQRとP'OQ'R'が合同

となるか分かりませんでした。

回答No.4

Tacosan

突っ込みだすと, 「ノルム」や「内積」の定義からはじめないとだめだねぇ.
たとえば R^2 のベクトル v = (x, y) に対して ||v|| = |x| + |y| はノルムの公理を満たし (確認してください) したがって「ノルム」なんだけど, このノルムが (普通の意味の) 直交変換で保存されないのは誰の目にもほぼ明らかでしょう.

お礼

回答ありがとうございます。
ノルムの公理を確認してみたいと思います。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。
確か、ノルムは内積から定義されていたと思うのですが。
ノルムで計算する「内積」は、なす角の大きさも決まっていますよね・・・。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

pascal3

ベクトルのノルムは自分との内積の平方根だから、
内積が変わらないならノルムも変わらないはずですが。