２面が直交する条件

質問

二面が直交している事を証明する問題があり、その問題自体の解説は理解出来たのですが
その問題に限らず使える二面が直交する条件について
いろいろ案（二面からそれぞれ交線に直角な直線を引き、その２直線が直交？）は出てきたんですが証明には至らず・・・
何か条件があれば出来れば証明も一緒にお願いします。

回答No.3

tecchan22 · ベストアンサー

その条件でいいですよ。ただし、それが、二平面が直交していることの「定義」ですので、証明は出来ません。

初等幾何（中学校でならう図形）では、二平面が交わるときの交角を、
「交線上の任意の一点Ａをとり、各平面内において、Ａを通り交線に垂直な半直線を引くとき、
その２本の半直線のなす角」
と定義します。
（鋭角と鈍角が出てきますが）

さてこの定義は、直観的には何の問題もないのですが、
うるさく言えば、「点Ａの取り方によって角度が変わらない」ことを
証明しなければならないですよね。

これは、交線上の任意の点Ａと点Ｂについて、夫々から作った角が、
「平行移動によって重なる」ことを確認するだけです。
（この場合、半直線だと４パターンできてしまうので、直線にしてしまうといいですね）

この交角が「９０度」であるときに、「二平面は直交する」というのであって、最初に申し上げたように、これは定義です。

ですから、証明は勿論できません。^^
というか、
（証明）定義です。（証明終わり）
ですね。

そして、ほかに良い、二平面が直交するための初等幾何的条件は、
残念ながらちょっと思いつかないですね。
何か思いつかれたのであれば、是非教えて下さい。

直観的に言えば、
「交線が一点に見える方向から見ると、（２平面が）直交する２直線に見える」
ことですが、これは初等幾何的に厳密な条件ではありませんしね。

ということで、以上です。

お礼

たまたま思いついたのが定義だったんですね。
というより、一番簡単な表現が定義になったんでしょうね。

他の証明方法で思いついたのは、
直径と円周角の関係や三平方の定理(三角比)、
初等幾何ではないですが上のかたの考え方のようにベクトルを用いる方法ですね。
ただ、はじめの二つはややこし過ぎて使えなさそうですね・・・

回答どうもありがとうございました。

回答No.4

tecchan22

No３です。

＞たまたま思いついたのが定義だったんですね。
というより、一番簡単な表現が定義になったんでしょうね。

そうですね。でも自分で思いつかれるとは、さすがです。
他にも色々考えてみられたみたいですし。

では、お互い勉強頑張りましょう！
※他の条件という訳ではないが、空間図形の問題を解く時に、
「三垂線の定理」というのが結構役に立ちます。
もしまだ知られなければ、是非勉強してみて下さい。

お礼

三垂線の定理というのは初耳でした。まだまだ勉強不足ですね。
回答どうもありがとうございました。

回答No.2

Hayabusa_K

二つの平面の法線ベクトルのなす角が平面のなす角なので，法線ベクトルが直角に交わるかを調べればいいと思います．

お礼

>二つの平面の法線ベクトルのなす角が平面のなす角
法線ベクトルというのは巧い考え方ですね。
平面上だと色々な方向のベクトルが出てきてしまうので・・・
どうも、ありがとうございます。

回答No.1

Evreux

>二面からそれぞれ交線に直角な直線を引き、その２直線が直交？
直行するとは限らなくて、ねじれの位置となることもありえますね。

片方の面内の平行でない任意の2ベクトルの外積（つまり片方の面の法線ベクトル）が、他方の面に平行であるといえれば大丈夫なような。

お礼

二直線が同じ点を通ることが必要になってきますね。
ねじれの位置の存在を完璧に忘れていました・・・

>片方の面内の平行でない任意の2ベクトルの外積（つまり片方の面の法線ベクトル）が、他方の面に平行
いわれて見ればそうですね。
その時解いていた問題は座標が設定しずらそうだったのでベクトルの演算まで考えられてませんでした。どうもありがとうございます。