導関数について

質問

y=(x~2-1)~nとし(x~2-1)y~(n+2)+2xy~(n+1)-n(n+1)y~nを示す。という問題をテストの過去問を勉強していて解いているのですがどういうふうに解いていくかの糸口が見付かりません。数回微分をしてみても検討も見付かりませんでした。
漸化式になるのかなと思って変形しようとしたのですがどうもうまく行きませんでした。どうすればよいのか糸口を教えて頂けませんか？
宜しくお願いします。

回答No.1

tarame

y~n,y~(n+1),y~(n+2)は、yの第n,n+1,n+2次導関数ですよね？
そう考えて、ｙの第ｎ次導関数の表記を y[n] とすることにします。
y[1]＝2nx(x^2-1)^(n-1)より　(x^2-1)y[1]－2nxｙ＝0…(1)
(1)をｘで微分すると　(x^2-1)y[2]+2x・y[1]-2n(x・y[1]+y)＝0
∴　(x^2-1)y[2]＋2x(1-n)y[1]-2ny＝0…(2)
(2)をｘで微分すると
　　(x^2-1)y[3]+2x・y[2]+2x(1-n)y[2]+2(1-n)y[1]-2ny[1]＝0
∴　(x^2-1)y[3]+2x(2-n)y[2]+2(1-2n)y[1]＝0
したがって
　　(x^2-1)y[k+2]+2xA(k)y[k+1]+B(k)y[k]＝0 とおくと
　　(x^2-1)y[k+3]+2x(1+A(k))y[k+2]+(2A(k)+B(k))y[k]＝0 より
次の漸化式が成り立つかと思います……
　A(1)＝2-n，B(1)＝2(1-2n)
　A(k+1)＝A(k)+1，B(k+1)＝2A(k)+B(k)