y＝x^2＋kとx^2＋y^2＝1が共有点もつ条件

質問

y＝x^2＋k…(1)とx^2＋y^2＝1…(2)が共有点をもつ条件を求めよ。

(1)からx^2＝y－kを(2)へ代入して
y^2＋y－k－1＝0…［＊］
がどんな範囲のyで解を持てばいいのでしょうか？
(1)からy＝x^2＋k≧k、
(2)からy^2＝1－x^2より、0≦y^2≦1から－1≦y≦1
より,y≧kかつ－1≦y≦1の解を［＊］がもつのが条件と考えましたが、答えには－1≦y≦1だけ満たせばいいととありました。なぜ前の考えは間違いなのでしょうか。教えてください。

回答No.2

Willyt · ベストアンサー

図を書いて見るのが一番いいでしょう。（１）は頂点が（０，ｋ）の下に凸な放物線で、ｋの値によってこれが上下にスライドしますね。（２）は原点を中心とし、半径が１の円です。そうすると二つの曲線が交わるときのｘ、ｙはともに１と－１の間にあることは容易に理解できますね。そして１～４つの交点は放物線の頂点と同じ高さか、より上方にあり、ｋは頂点のｙ座標ですから　ｙ≧ｋは自動的に満たされていますよね。だから不要なのです。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「y≧k を考える」のが「間違い」ということではありません. (結果的に) その条件は不要である, というだけです.

お礼

ありがとうございました