x+y+zの取り得る値の範囲

質問

実数x,y,zで、x>=y>=z,x+3y+z^2=8を満たすとき、x+y+zの値の範囲を求めよ。

次のように考えましたが、途中で混乱してしまいました。
よろしく、アドバイスをお願いします。

x+y+z=kとおく。
x=k-y-zをx+3y+z^2=8に代入して
z^2-z+3y+k-8=0
これが、実数解を持つから、D>=0より、
(33-4k)/8>=y......(1)
また、z^2=8-x-3y>=0から
8>=x+3y>=4y,よって2>=y

このあと続きませんでした。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

＃1から＃3までは、全くの誤答、x,y,zが　x+3y+z^2=8　で制限されている事を考慮してない。

simpleな解答が浮かばないが。。。。ｗ

xを消すと、4y≦8-z＾2、y≧z　だから、これを満たすyの実数値があるから、8-z＾2≧4z、従って、z＾2＋4z-8≦0　‥‥(1)　又、そのとき、z≦y≦(8-z＾2)/4　‥‥(2)
Ｐ＝x+y+z＝-2y＋8-z＾2＋z　これは、傾きが負のyの一次関数だから、　(-z＾2＋2z＋8)/2≦Ｐ≦-z＾2-z＋8。後は、(1)の範囲で、(-z＾2＋2z＋8)/2の最小値と、-z＾2-z＋8　の最大値を求める。
結果は、比較的綺麗な数字になる。

お礼

回答ありがとうございました。
闇雲な式変形でなく、何故このような式変形をするのかの理由が
よく分かりました。
計算すると最大値は４１／４，最小値は３（－２－２√３）となりました。

回答No.5

info22_

>x+y+z=kとおく。
>x=k-y-z…(A)を
>x+3y+z^2=8に代入して
>z^2-z+3y+k-8=0…(B)
ここまでOK

この先
(A),(B)から
　x=(z^2-3z+3k-8)/2 …(C)
　y=(-z^2+z+8-k)/2 …(D)
x>=y>=zより
　x-y=z^2-2z+2k-8=f(z)≧0…(E)
y-z=(-z^2-z+8-k)/2=g(z)≧0…(F)
(E),(F)を同時に満たす実数が存在する条件を
f(z),g(z)のグラフの概形をkで場合分けして描いて求めると
kの最大値はg(z)のグラフがz軸(横軸)接する（重解をもつ）場合で
k=33/4,このときz=-1/2
　(C),(D)から x=37/4,y=-1/2
kの最小値は
　f(z)=0,g(z)=0が共通解z1（両方の解の小さい方同士が一致するときそれが共通解z1）を
　もつ場合で、
　k=-6-6√3,このときz=z1=1-√(21+12√3)
　(C),(D)から　x=y={-7-6√3+√(21+12√3)}/2

以上から
　-6-6√3≦x+y+z≦33/4

[検算]　zを横軸、f(z),g(z)を縦軸にとってグラフ（両方とも放物線でf(z)は下に凸、g(z)は上に凸）を描いてf(z)≧0かつg(z)≧0を満たすzが存在するkの範囲を求めて下さい。境界のkやそのときのx,y,zの値も自身で計算してみてください。

お礼

回答ありがとうございます
x-y=z^2-2z+2k-8=f(z)≧0…(E)
y-z=(-z^2-z+8-k)/2=g(z)≧0…(F)
(E),(F)を同時に満たす実数が存在する条件を
求めるところで、たぶん自分の力不足で解答に到達できない
ような気がしました。

回答No.3

eltaliese

連続回答本当にすみません。
最大値は　y=z=x の時で3x
最小値は　x=y=z の時で3z
よって最大値は
x+3x+x^2=8を満たす解の大きい方で
最小値は小さい方で求められると思います。

お礼

回答ありがとうございます
x=y=z=8-3yのとき、最大になるのはどうしてか・・・
ＮＯ１を考えています。

回答No.2

eltaliese

No.1です。確認してたらミスがありました。
最大値を求めるほうは無視をお願いしますm(__)m

回答No.1

eltaliese

シンプルに考えて、ｋの最大値＝３ｘ，最小値＝３ｚ
z^2=8-x-3y>=0から　8>=x+3y>=4y,よって2>=y
また、x≦8-3y
よって最大値は
x=y=z=8-3y　のときで、コレは,x+3y+z^2=8を満たすので、代入して計算。
ｙを求めると　ｘが定まる。

x=y=zのとき、与式から
z^2+4z=8
コレを解いて、条件を満たすｚを確認すればｚが定まる

ちょっと説明端折ってますが、こんな感じでどうでしょうか