絶対値を含む二次関数と直線の共有点

質問

y=│x^2-x-2│-2xとy=kの共有点の個数を求める問題です。
y=│x^2-x-2│-2xのグラフは何とか書くことができましたが、共有点は求めることができず、答えを見ても分かりません。模範解答には
k<-4のとき　　　　　0個
k=-4のとき　　　　　1個
-4<k<2,9/4<kのとき　2個
k=2,9/4のとき　　　 3個
2<k<9/4のとき　　　 4個
と書いてありましたが、なぜこのように場合分けするかもよく分かりません。
どなたか教えてください。

回答No.3

debut · ベストアンサー

グラフがかけていれば、そのグラフとｘ軸に平行な直線、ｙ＝ｋとの
共有点を調べるだけです。

頂点が本当は（3/2,-17/4）である下に凸な放物線が点(-1,2)から点(2,-2)
までの下の部分が欠けていて、それらの２点の間は頂点が(-1/2,9/4)の
上に凸な放物線が続いていて、ちょうどこれらの２点の部分で折れ曲って
いるようなグラフがかけていますか？
そのグラフで、直線ｙ＝ｋを下から移動させていけば、共有点の個数は
簡単に求められるはずですが・・・

下から順に見ていくと、
１．グラフの一番下は点（２、－４）で、ここでグラフは折れ曲がって
　　いるので、ｙ＝ｋとの共有点は１つ。
２．次に点（－１、２）で再びグラフは折れ曲がっていて、一番下の点か
　　らこの点までの間では、ｙ＝ｋとの共有点は２つ。
３．ｙ＝ｋが点（－１,２）を通るとき共有点は３つ。
４．２点間にある放物線ｙ＝－ｘ^2－ｘ＋２の頂点(-1/2,9/4)までは
　　共有点は４つ。
５．放物線ｙ＝－ｘ^2－ｘ＋２の頂点(-1/2,9/4)を通るとき、共有点は
　　３つ。
６．５より上では共有点は２つ。
７．もちろん、１より下では共有点は０。

これらを個数でまとめたのが模範解答です。

回答No.2

tamimola

グラフが描けたのに共有点が求められない…なぜでしょうか。
この問題はグラフが描けたら８割方できているのに、もったいないですねぇ。

わかっているかと思いますが、
y=|x^2-x-2|-2x　…グラフ１
y=k　…グラフ２
とすると、
「グラフ１とグラフ２の交点の個数＝求める共有点の個数」なのはいいですよね？

するとあなたが描いたグラフ１に、グラフ２（ｘ軸に平行でありｋの値によって上下移動する）を重ねて描けばいいのです。
下から上に近づけていきましょう。
ｋがマイナスの大きな値の時は交点が０個ですね。
ｋが徐々に大きくなってｋ＝－４の時、初めて１個の共有点を持ちますね。
その後も徐々にｋを大きくすると、最終的には０個→１個→２個→３個→４個→３個→２個となるので、あとは模範解答のようにｋの値でまとめるだけです。

わかりましたでしょうか？

回答No.1

batai

グラフはちゃんと書けましたでしょうか？
グラフさえ合っていればわかると思います。

まず
y = x^2 - x - 2
を見ます。このグラフは -1 < x < 2 の時マイナスになりますので

y =│x^2 - x - 2│ - 2x

のグラフは -1 < x < 2 の範囲では
y =-(x^2 - x - 2) - 2x = -x^2 - x + 2

それ以外では
y =(x^2 - x - 2) - 2x = x^2 - 3x - 2

として振舞います。

よってそのグラフを書いてみればわかると思いますが、
確かに

k<-4のとき　　　　　0個
k=-4のとき　　　　　1個
-4<k<2,9/4<kのとき　2個
k=2,9/4のとき　　　 3個
2<k<9/4のとき　　　 4個

となります。yの値によって共有点の個数も変わるからです。
k = 4 とは　y = 4のことですから、「このグラフは何回 y = 4を通るのか」、つまり 「y = 4のグラフとこのグラフとの交点はいくつか」、というのを見ていけばすぐわかると思います。

y軸の上の方からからすーっと横に当てた定規を下げていけば理解しやすくなると思います。