複素数平面についての質問（2）

質問

下記の問題の解き方を詳しく教えて下さい。
（すっかり忘れているので基礎事項もお願いいたします。）

証明せよ。
(1)zz'=r(cosA+isinA)・r'(cosA'+isinA')
=rr'(cosA+isinA)(cosA'+isinA')

(2)z/z'=r(cosA+isinA)/r'(cosA'+isinA')
=r/r'*cosA+isinA/cosA'+isinA'

（3）z=2+2√3i, z'=√3+iのとき、それぞれの極形式は、
(1)z=
(2)z'=

であるから、
(3)zz'=
(4)z/z'=

どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.2

alice_44

証明せよ…じゃなくて、説明せよ…なんですね。

複素数 z を複素平面上の点で表して、
原点からの距離を r、実軸正方向から反時計回りに測った角度を A と置くと、
z の実部は r cosA、虚部は r sinA となります。
簡単な平面幾何ですから、図を描いて確認してください。
z = (r cosA) + (r sinA)i = r(cosA + i sinA) ということです。
r を「z の絶対値」、A を「z の偏角」といい、
r と A とで z を表すことを「極形式」の表示といいます。

同様に、もうひとつの複素数 z' が、極形式で
z' = r'(cosA' + i sinA') と書けたとしましょう。

(1)(2)は、r, r', (cosA + i sinA), (cosA' + i sinA') の
四者の掛け算・割り算で交換法則を使っているだけです。
(2)は、少し括弧を補ったほうがよいですね。

(3)は、上記の極形式の定義にしたがって、r, A を求める。
r = √{ 2^2 + (2√3)^2 } = 4。
cosA = 1/2, sinA = (√3)/2 より、A = π/3。
よって、z = 4{ cos(π/3) + i sin(π/3) }。
r' = √{ (√3)^2 + 1^2 } = 2。
cosA' = (√3)/2, sinA' = 1/2 より、A' = π/6。
よって、z' = 2{ cos(π/6) + i sin(π/6) }。

(4)は、(3)の結果を(1)(2)の式へ代入するだけです。

回答No.1

info22_

z=x+iy=rcosA+irsinA=r(cosA+i sinA)
z'=x'+iy'=r'cosA'+i r'sinA'=r'(cosA'+i sinA')
を代入し整理するだけ↓
(1)zz'=
(2)z/z'=

(3)z=2+2√3i, z'=√3+i、
(1)z=4{cos(π/3)+i sin(π/3)}
(2)z'=2{cos(π/6)+i sin(π/6)}

であるから、
(3)zz'=4*2{cos(π/3)+i sin(π/3)}{cos(π/6)+i sin(π/6)}
=8{cos(π/3+π/6)+i sin(π/3+π/6)}
=8{cos(π/2)+i sin(π/2)}

(4)z/z'=(4/2){cos(π/3)+i sin(π/3)}/{cos(π/6)+i sin(π/6)}
=2{cos(π/3)+i sin(π/3)}{cos(π/6)-i sin(π/6)}
=2{cos(π/3-π/6)+i sin(π/3-π/6)}
=8{cos(π/6)+i sin(π/6)}