複素数平面の問題です。

質問

点zが点1+iを中心とする半径√２の円周上を動くとき、w=1/zを満たす点はどのような図形を描くか。
教科書数IIIの問題です。よろしくお願いします。

回答No.7

noname#232123 · ベストアンサー

「補足」に対し、「新たな回答」として書きます。
|z-(1+i)|=√2, z=1/w より、
|1/w - (1+i)|=√2 ⇔ |1 - (1+i)w|/|w|=√2 ⇔ |1 - (1+i)w|=√2*|w| ⇔ |(1+i)w - 1|=√2*|w| ⇔
|1+i|*|w - 1/(1+i)|=√2*|w| ⇔ √2*|w - (1-i)/2|=√2*|w| ⇔ |w - (1-i)/2|=|w| ⇔ |w - (1-i)/2|：|w|=1：1
となります。

お礼

sesame131 さま

わかりました。有難うございます。

回答No.6

Water_5

＞教科書数IIIの問題です。
なにかの間違いでは？
教科書って高校生の？

昔の高校生はこんな難しいことはやらなかった。
（大学生の内容だが。）

回答No.5

noname#232123

|z-(1+i)|=√2, z=1/w ですから、
|1/w-(1+i)|=√2 ⇔ |w|=|w-(1-i)/2|.
よってw は、「原点Ｏ、および点(1-i)/2 からの距離が等しい点の集まり」すなわち、xy平面上の直線y=x-1/2 を描きます。(なお、z=0 に対応する点wはない)

補足

sesame131 さま

有難うございます。初歩ですが、
|1/w-(1+i)|=√2 ⇔ |w|=|w-(1-i)/2|.
の変形の仕方がわかりません。
よろしくお願いします。
(1+i)=(1+i)(1-i)/(1-i)=2/(1-i)まではわかりますが。

回答No.4

bran111

#1です。

＞zは円周上の点であり、上限下限があるのにwは±∞の値をとるのがしっくりきません。
zのどの点とwのどの点が対応するかわかるのでしょうか。

⇒zは原点を通る円です。よってzが原点付近の時w=1/zは無限遠に行きます。

＞あるいは、別解はあるのでしょうか。

たとえば

u=(1+√2cosφ)/[4+2√2(cosφ+sinφ)]
v=-(1+√2sinφ)/[4+2√2(cosφ+sinφ)]

を導いたのちcosφ,sinφについて解いてcos^2φ+sin^2φ=1に代入してu,vの関係にするなど、計算の経路はいろいろあるでしょうが、結果は同じです。

回答No.3

178-tall

>点zが点1+iを中心とする半径√２の円周上を動くとき、
　　↓
　(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2
　x(x-2) + y(y-2) = 0
　x^2 + y^2 = 2(x+y)　　… (1)

>w=1/zを満たす点はどのような図形を描くか。
　　↓
　w = 1/(x+iy) = (x-iy)/(x^2 + y^2y)
　　↓ (1) の関係により、
　w = u + iv = (x-iy)/{2(x+y) }
だろうから、
　u = x/{2(x+y) }
　v = y/{2(x+y) }
つまり w は、
　u+v = 1/2
なる「直線」らしい。

回答No.2

yyssaa

＞z=x+iyとおくとzの軌道は(x-1)^2+(y-1)^2=2
w=1/z=1/(x+iy)=(x-iy)/{(x+iy)(x-iy)}=(x-iy)/(x^2+y^2)
wの実部をR、同じく虚部をIとすると
R=x/(x^2+y^2)、I=-y/(x^2+y^2)
zの軌道を書き直すと、x^2+y^2=2(x+y)、1/2=(x+y)/(x^2+y^2)
この右辺はR-IだからI=R-1/2でありw=R+i(R-1/2)になるので、
wは点-i/2を通り実軸から反時計回りに45°傾斜した直線上にある。
ここでR=x/(x^2+y^2)、{x-1/(2R)}^2+y^2=1/(2R)^2
これは点1/(2R)を中心とする半径1/(2R)の円であり、Rの値に
かかわらず常に点0を通り、点0はzの軌道上の点だから、Rは
全ての値をとり得る。
よってwの描く図形は
「点-i/2を通り実軸から反時計回りに45°傾斜した直線」・・・答

回答No.1

bran111

z=1+i+√2(cosφ+isinφ)

で表される。w=u+ivは

w=1/z

を満たす。最も楽な計算は

1/ｗ＝1/(u+iv)=(u-iv)/(u^2+v^2)=z=1+i+√2(cosφ+isinφ)

u/(u^2+v^2)=1+√2cosφ ⇒　u/(u^2+v^2)-1＝√2cosφ

-v/(u^2+v^2)=1+√2sinφ ⇒　-v/(u^2+v^2)-1＝√2sinφ

両辺を2乗して加え合わせると

1/(u^2+v^2)+2-2u/(u^2+v^2)+2v/(u^2+v^2)=2

整理して

v=u-1/2

よってwはこの式で表される直線を描く

補足

bran111 さま

簡明な式の誘導、よくわかりました。

zは円周上の点であり、上限下限があるのにwは±∞の値をとるのがしっくりきません。
zのどの点とwのどの点が対応するかわかるのでしょうか。
あるいは、別解はあるのでしょうか。

よろしくお願いします。