複素数の問題です。

質問

複素数ｚ＝－２＋２√３iの(複素)３乗根を求めよ。という問題で、
|ｚ|＝ｒ＝√(－2)^2＋(2√3)^2＝√16＝4
絶対値|ｚ|＝ｒ＝4でくくり
ｚ＝4(－2/4＋i2√3/4)=4(－1/2＋i√3/2)＝4(conθ+isinθ)
までは解けるのですが、この先の
偏角argz=θは、sinθ＝－1/2、conθ＝√3/2を満たす角なのでθ＝2π/3＋2ｋπ(ｋ：整数)
の部分が分りません。θ＝2π/3＋2ｋπはどのように求めればいいのでしょうか？tanインバースを使わない方法で教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

matelin

こんにちは。次の説明は、偏角の扱い方が、あなたの教えてもらったやり方とはちょっと違いますが、
私はこちらのほうがすっきりしていると思います。

問題のＺの３乗根をＷと置き、
Ｗの絶対値をｒ、Ｗの偏角をθ（０＝＜θ＜２π：これが大切）
と置きます。Ｗ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）です。
さて、Ｗ＾３＝Ｚなので、Ｗ＾３をドモアブルの定理で計算すると、
Ｗ＾３＝ｒ＾３（ｃｏｓ３θ＋ｉｓｉｎ３θ）
これがＺ＝4(cos2π/3+isin2π/3)に一致すればよいのです。
（Ｚの偏角は2π/3のみとしておきます。：これも大切）
ｒ＾３（ｃｏｓ３θ＋ｉｓｉｎ３θ）＝4(cos2π/3+isin2π/3)
絶対値については、ｒ＾３＝４より、ｒ＝４の３乗根
偏角についてですが、ここでちょっと考える必要があります。
上で、Ｗの偏角θについて、０＝＜θ＜２πとしました。
これより０＝＜３θ＜６πとなり、
その範囲で、第二象限の2π/3になるのは、
３θ＝２π／３だけではありません。
３θ＝２π／３、２π／３＋２π、２π／３＋４π
の３つがあります。４つ目は２π／３＋６πですが、
これは０＝＜３θ＜６πの範囲を越え出てしまいますから、だめです。
上の３つの３θは、複素平面の上では、みな同じ位置を表しますが、
θはそうではありません。
θ＝２π／９、８π／９、１４π／９となり、
これらは複素平面上では異なる位置になります。
したがって、それに対応するＷは異なる複素数なのです。
その異なる複素数３個が、すべてＺの３乗根です。

回答No.3

mister_moonlight

ド・モアブルの定理を使って解くつもりなんだろうが、解くだけなら（解法が指定されていなければ）簡単なんだけどね。

ｚ＝－2＋2√3*i　より、ｚ＋2＝2√3*i　であるから両辺を2乗すると、z＾2＋4z＋16＝0.
z＾3＝（z-4）*（z＾2＋4z＋16）＋64＝64。

回答No.2

banakona

「θ＝2π/3＋2ｋπをどうやって導出すればいいのか」という意味でしたら、複素平面を描いて、そこに座標（－1/2、√3/2）または（同じことですが）座標（－２，２√３）の点をとり、原点からこの点に向かうベクトルが、Ｘ軸の正の向きとなす角を求めればいい。

すると、正三角形の内角・辺の長さ・高さの関係から一つの偏角として2π/3（degreeなら１２０度）が出てくるはずです。ただし前記ベクトルは左回り・右回りに２πの整数倍回転させても偏角は同じなので、＋2ｋπ(ｋ：整数)を加えます。

老婆心ですが、３乗根を求めるなら４の３乗根を求めて、偏角を1/3にするのをお忘れなく。

回答No.1

ghiaccio

偏角は一意に決まらないのでそのままの表記でOKです。