リーマン球を使った複素数の問題がわかりません

質問

zとz'とがリーマン球面上の直径の両端の点に対応するときz*bar(z')=-1となる証明ができません。わかる人がいたら教えてください。bar(z)はzの共役複素数です。たぶん
z=r(cosθ+i*sinθ),bar(z')=(1/r)*(cos(π-θ)+i*sin(π-θ)) になることがわかれば証明できると思います。複素平面の2点zとbar(z')の座標は、作図したら角度は正しいことが確認できます。しかし絶対値が合わないので、ぜひわかる人がいたら教えてください。

回答No.2

kabaokaba

多分，厳密にはこういう問題なのでしょう

半径1の二次元球面Sと複素平面Cの立体射影pを
無限遠点∞を考えることで同相とみなす
i.e. p: C∪∞ -> S は同相写像
このとき，
二つの複素数z，z'に対して
z\bar{z'}=-1であることと
p(z)とp(\bar{z'})のなす線分がSの中心を通ること
は同値であることを示せ

これは立体射影を具体的に表現すれば
計算ですぐ出きるはずです．

少しだけ書くと，立体射影p: C∪∞ -> S は
S上の任意の点P(x,y,z) (x^2+y^2+z^2=1)と
Sの北極(0,0,1)を通る直線が
平面z=0と交わる点をQとすれば
p(Q)=Pとなるので，具体的に表記するのは
容易でしょう．
そうすればp(z)，p(z')を通る直線が原点を通ることと
z\bar(z')の関係が計算できますね

回答No.1

pascal3141

リーマン球の定義から、半径１の球なので、その球上の１点は、z=cosθ+i*sinθ。そうすれば、その正反対の点z'=cos(π＋θ)+i*sin(π＋θ)=- cosθ-i*sinθとなり、bar(z')=-cos(θ)+i*sin(θ)なので、z*bar(z')=-1となります。