数Iの問題です。

質問

数Iの問題です。

「実数x, yがx^2+y^2=4を満たしている時、4x+2y^2のMax. Min. を求めよ。
また、その時のx, yの値を求めよ。」

この問題はどの様に解いて行けば良いのでしょうか？
教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.4

WiredLogic · ベストアンサー

解き方は、何通りかあって、この問題の場合は、難易度そんなに違わないので、好みや得意分野か、で、選べばいいでしょう。但し、似たような問題で、このやり方がすごく楽、とか、このやり方では計算しようがない、ということもありますから、できるだけ、全部のやり方を知っておく方がいいと思います。

(解法１)
x^2 + y^2 = 4 は、中心O、半径2の円、
よって、-2≦x≦2 … (1)、
x^2 + y^2 = 4 より、y^2 = 4 - x^2、
これを、4x+2y^2 に代入すると、
4x+2y^2 = 4x+2(4-x^2) = …
で、xの２次関数になり、(1)の範囲の、Max,minを求める

(解法２)
4x+2y^2 = k とおくと、x = -(1/2)y^2 + k/4 … (2) と、
横に寝かせた放物線になり、kが大きくなると、(2)は右寄り、
kが小さくなると、(2)は左寄りに、動く。
x^2+y^2=4 と、(2)が共有点を持つ範囲での、kのMax,minを
求めればいい。(2)が一番右寄りで、共有点を持つのは、
放物線の頂点と円が接するとき、一番左寄りでは、
放物線の内側に円が接するとき、なので、これらの位置での
kを求める

(解法３)
x^2+y^2=4 より、x=2cosθ, y=2sinθとおくことができる。
このとき、4x+2y^2 = 4*2cosθ + 2(2sinθ)^2
= 8cosθ + 8(sinθ)^2 = 8cosθ + 8{1 - (cosθ)^2}
= -8(cosθ)^2 + 8cosθ + 8
ｔ = cosθとおくと、t の２次式になるから、
-1≦t=cosθ≦1の範囲で、このMax,minを求める。

お礼

詳しい解説有難うございます。
最初に何をしたら良いのか全くわからず困っていたので
非常に助かりました。
色々と解法があるのですね。参考になりました。

回答No.5

WiredLogic

A.No.4の回答をしたものです。

ごめんなさい、数Iの問題だと書いてあるのを読み飛ばしていました。

高校１年生だったら、(解法２)(解法３)は、範囲外でしたね。

もし、高２以上で、数Iの演習をしているのなら、類題で片方が円の方程式の問題のときは、(解法３)のように三角関数使うと、応用範囲が広いので、数Iに拘ることなく、使えるようにしておくと便利です。

お礼

私はいま高2で、学校から出された数１Aの演習課題をやってました。
解法2はなんとか理解できましたが、解法3は「x^2+y^2=4 より、x=2cosθ, y=2sinθとおくことができる。」の部分がよくわかりませんでした。
2倍角の公式を使うのですか？良かったら教えてください。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞この問題はどの様に解いて行けば良いのでしょうか？
4x+ 2*y^2＝ kとおくと、kのとり得る範囲を求めることで最大値・最小値がわかります。

x^2+ y^2＝ 4にこの式を代入すると、xの 2次方程式にすることができますね。
ここで xも yも「実数」なので、「実数として存在すること」が条件になります。

・xの 2次方程式は、まず実数解をもたなければなりません。
ただ、実数解をもつだけでは、yが実数にならないときが含まれてしまいます。
yも実数となるためには、解となる xにさらに条件がつきます。

・結果、「実数として存在すること」の条件は、2次方程式の解についての条件になります。
あとは、2次関数のグラフを用いて、その条件を式で表していきます。

kのとり得る範囲が求めたいものであることを忘れないようにしてください。

お礼

回答有難うございます。
思っていたよりも簡単に解けました。

回答No.2

gohtraw

x^2+y^2=4よりy^2=4-x^2　ですから、これを4x+2y^2　に代入します。すると
４ｘ＋２ｙ＾２＝４ｘ＋２（４－ｘ＾２）
　　　　　　　＝－２ｘ＾２＋４ｘ＋８
　　　　　　　＝－２（ｘ－１）＾２＋１０　・・・（１）
ｘ＾２＋ｙ＾２＝４よりー２＜＝ｘ＜＝２なので、この範囲における（１）の最大値、最小値を求めればいいことになります。ｘ＾２の係数が負なので、（１）はｘ＝１のとき最大値をとり、その値は１０です。また、ｘ＝－２、ｘ＝２をそれぞれ（１）に代入するとその値はそれぞれー８、８となるので、（１）の最小値はｘ＝－２のときー８です。

お礼

回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.1

Kurasaki

【方針】

4x+2y^2=k…(1)

とでもして

次に

x^2+y^2=4…(2)

これをy^2=4-x^2にして(1)にぶち込む

すると

(1)の左辺はXの二次関数型になり、右辺は定数になる

定数完全分離のパターンに持っていける

ここで気になるのはxの範囲だけれど

(2)は半径2、原点中心の円だから

xの範囲は簡単にわかる

お礼

素早い回答有難うございます。
意外と簡単に解けました。