複素数の相等の問題

質問

高校数学からの問題です。
『次の等式を満たす実数ｘ、ｙの値を求めよ。(２i＋３)ｘ＋(２－３i)ｙ＝５－i』という問題で、実部と虚部に整理して連立方程式を解くというやり方は理解したのですが、解説に“３ｘ＋２ｙ、２ｘ－３ｙも実数である、という断り書きは重要である”とありました。問題文からｘとｙが実数ということは前提となっているので、わざわざ断り書きをする必要はないと思うのですが、この断り書きがないと大きな原点対象となるのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.1

phusike · ベストアンサー

まず一般論として、「x + iy = 0 ⇔ x = y = 0」が成立するのは、
x, yともに実数の時だけです。
x, yのいずれかが複素数である可能性がある時に、
誤ってこの命題を適用してしまうと痛い目を見ます。
即ち、この問題の場合 3x + 2y (-5), 2x - 3y (+1) が実数であることは、
答案に明示的に書くか否かに関わらず必ずチェックせねばならないことです。

ただ、この問題に限って言えば、
確かに実数は四則演算に関して閉じていますので、
これらが実数であるのは自明と言えば自明です。

問題が複素数の相等を直接聞くような問題であれば、
このことを理解していることを明示するために書く必要があるかもしれません。
しかし、入試等では大問の中で複素数の相等を用いる必要があるということがほとんどであり、
そうであれば、この程度の単純なものであれば大きな減点はされないでしょう。
ただ、 x, y がともに実数であることか 3x - 2y, 2x - 3y がともに実数であることのうち、
どちらか片方は答案に明示的に書いておく方が安全だとは思います。

お礼

回答ありがとうございます。
安全策をとっていこうと思います。
参考になりました。ありがとうございます。