この数学の問題を解いて下さい。お願いします！

質問

この図のように１辺の長さが４cmの正四面体ＡＢＣＤがあり、辺ＡＣの
中点をМ、辺ＡＤの中点をＮとする。次の問いに答えよ。
（１）△ＡＢＣの面積を求めよ。

（２）頂点Ａから底面ＢＣＤに直線ＡＨをひくとき、ＡＨの長さを求めよ。

（３）点Ｂ，Ｍ，Ｎを通る平面でこの立体を切ったとき、
切り口の三角形ＢＭＮの面積を求めよ。

（４）頂点Ａから切り口の平面ＢＭＮにひいた垂線の長さを求めよ。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

（１）△ＡＢＣの面積を求めよ。
＞△ABCは１辺の長さが4cmの正三角形なので、その面積は
(1/2)*AB*BC*sin∠ABC=(1/2)*4*4*√3/2=4√3(cm^2)・・・答
（２）頂点Ａから底面ＢＣＤに直線ＡＨをひくとき、ＡＨの長さを求めよ。
＞直線AHは底面BCDに垂直として回答します。
Hは正三角形BCDの重心になるので、BHは△BCDの高さ
の2/3、すなわちBH=4*(√3/2)*2/3=4/√3(cm)、よって
AH=√(AB^2-BH^2)=√(16-16/3)=4√(2/3)=4√6/3(cm)・・・答
（３）点Ｂ，Ｍ，Ｎを通る平面でこの立体を切ったとき、
切り口の三角形ＢＭＮの面積を求めよ。
＞BMは正三角形ABCの高さだからBM=2√3(cm)
△AMN∽△ACDだからMN=(1/2)*CD=2cm
MNの中点をOとすると、BO=√{BM^2-(MN/2)^2}=√(12-1)=√11
よって三角形BMNの面積=(1/2)*2*√11=√11(cm^2)・・・答
（４）頂点Ａから切り口の平面ＢＭＮにひいた垂線の長さを求めよ
頂点Aから切り口の平面BMNにひいた垂線の足(Pとする)は、
△ABOでAからBOに下ろした垂線の足になる。
△ABOはAB=4(cm)、BO=√11(cm)、AO=(1/2)*BM=√3(cm)
よって、AP^2=AB^2-BP^2=16-BP^2、AO^2=AP^2+(BO-BP)^2
後の式から3=AP^2+(√11-BP)^2=AP^2+11+BP^2-2BP√11
AP^2+BP^2=-8+2BP√11、前の式よりAP^2+BP^2=16
両式よりBP=12/√11、AP^2=16-BP^2=16-144/11=32/11
AP=√(32/11)=2√(8/11)=4√22/11、よって
頂点Aから平面BMNにひいた垂線の長さ=4√22/11(cm)・・・答

お礼

詳しく教えて下さってありがとうございます!!