0で割ってはいけない説明に疑問が残ります

質問

a≠0としてa／0＝bが成立すれば両辺に0を掛けてa＝0となり矛盾なので0で割る事は不可．．

両辺に0を掛けてa＝0って、
（a＊0）／0＝b＊0
で左辺を0で約分って事ですよね。

しかし約分は0以外の数でしか定義されてないんじゃないんでしたっけ？

回答No.5

noname#221368

#1さんの応答が、一番すっきりしてると思います。

　a≠0として、0で割る事が可能なら：a／0＝bみたいな真似ができるなら、a＝0となるから、これは駄目だろう、という話です。

　つまり、約分は0以外の数でしか「定義しない事の妥当性」が、ここから出てきます。0で割る事や、約分は0以外の数でしかできない事の「決め」の、前段階です。「そう決める」のにも、数学ではやっぱり理由が必要ですから・・・。

回答No.4

Tofu-Yo

÷０がダメなのは当たり前といえば当たり前なんですが、ちゃんと理由を言うには厳密な議論が必要ですね。

割ってはいけないじゃなくて、正確には割ることができない、です。

まず、「÷ａ」とは何か、というと「×(1/ａ)」と定義しています。

では「1/ａ」とは何か、というと、「ａの逆数」のことを言います。

さらに「ａの逆数」とは、「ａにかけると１になる数」です。

０にかけて１になる数はありませんので、結局÷０を他の数と同様には定義できず、他に適当な定義もないのです。

もちろんいい加減に定義することはできますが、意味をなすかが問題で、混乱を招いて誤った計算を誘発しかねないので定義してないのです。

補足

>「1/ａ」とは何か、というと、「ａの逆数」のことを言います。
>さらに「ａの逆数」とは、「ａにかけると１になる数」です。
>０にかけて１になる数はありません
それを1行で数式を使った背理法で表現してるのが私の質問文の1行めなのでは？

回答No.3

Tacosan

a/b = x なら a = bx
は適用していいのかなぁ? ふつう「割算」といえば乗算の逆演算として定義するから, 拡大解釈して今の場合にも使っていいような気はするんだけど....

蛇足ですが, b・0 = 0 を前提にしておかないと議論が破たんしますね.

補足

>蛇足ですが, b・0 = 0 を前提にしておかないと議論が破たんしますね.
もちろんです。そこは自明としております。

回答No.2

spring135

＞a／0＝b
これは数学ではありません。
従ってこれを出発点とした議論はナンセンスです。

補足

あなたの説明は数学になっていない。高校は行かれましたか？背理法ってご存知？

回答No.1

edomin7777

約分するっていうことは、同じ数で分子・分母を割ることでしょ？

今の場合、「０」で割っても良いとしたときの話なんですよ。

「０」で割っても良いとすると、約分も出来ますよね？

そして、その上で矛盾があるから「０」で割っちゃ駄目だねっていう事です。

「０で割っちゃ駄目」≒「０で約分しちゃだめ」

っていうことです。

お礼

納得できるような気もしますが、それでもまだ、
一回の背理法中に二回の前提を使うってのがどうもスッキリしない気がするんですよね。
一回の背理法中に一回の前提を使ったら矛盾。よって前提が誤っていた。としたい。
で思いついたのが以下の証明法です。

互いに素であるa≠b≠c≠dにおいてb／a≠d／cが成立する。
a≠0としてa／0＝bが成立すれば両辺をaで割って1／0＝b／aとなる。
c≠0としてc／0＝dが成立すれば両辺をcで割って1／0＝d／cとなる。
前者後者は左辺をどのように定義できるとしても矛盾なので0で割る事は不可．．

というのはどうでしょうか？

補足

二回の前提と言ってるのは、二種類の「0で割れたとする」前提という意味です。
つまり一種類め「a／0が成立する」、二種類め「0での約分が成立する」で二種類。
上で私が提示した新しい証明法では一種類め「a／0が成立する」しか使っていない。