分数関数は恒等式と言えるのですか？

質問

下の問いの分数関数の等式では、x=2 ,x=－3を除外しています。
つまり、定義域は 2と－3以外の数

恒等式の定義を「どんな数でも両辺の等式が成り立つ式」とすると、
下の問いの式では、x=2 ,x=－3では等式が成立しません。
つまり、どんな数でも成立する式ではありません。
よって、問いの分数式は恒等式の定義を満たさないので、恒等式とは言えないと
思うのです。もし、問いの分数式を恒等式と呼べるとしたら、その理由を教えて下さい。

（問）次の恒等式を満たすa、bを求めよ
５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3)

回答No.5

178-tall

>（問）次の恒等式を満たすa、bを求めよ
>５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3)

(問) を解く手は、右辺にて通分、分子項を左辺分子項に等しくする「恒等化」。

つまり、
　a/(x－2) + b/(x＋3) = { a(x+3) + b(x-2) } / {(x-2)(x+3)}
　　　　↓
　5 = a(x+3) + b(x-2)
なる整式の「恒等化」。

この整式での定義域は「すべての実数 x」。

お礼

解答を下さり、どうもありがとうございました。

回答No.4

atkh404185

ＡＮＯ．１です。
質問の答えをしていませんでした。

恒等式になります。

お礼

再度の回答、どうもありがとうございました。
自分の誤解に気付くことができました。

回答No.3

info222_

No.2です、
恒等式の定義は次の通りです（参考URL参照）、
「恒等式とは、等式すなわち等号 (=) を含む数式であって、そこに現れるあらゆる変数がどのような値にあっても、常に等号で結ばれた左右二つの数式の "値" が等しいもののことを言う。 変数の動く範囲は、文脈によって異なる。」
分数式の恒等式については、「変数の動く範囲は、文脈によって異なる。」が分数式の定義域の範囲となります。
重要な恒等式の中には、公式、定理、法則などの等式も多く存在します。
たとえば三角関数の公式
1+tan^2(x)=1/cos^2(x) (定義域：x≠nπ+(π/2), nは任意の整数)
も恒等式です。

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/恒等式

お礼

回答くださり、どうもありがとうございました。
悩んでいた事が、すっきりしました。

回答No.2

info222_

数学の用語の定義を正しく覚え、使えるようにしましょう。

>分数関数は恒等式と言えるのですか？
お書きの等式は分数関数とは言いません。等号で結ばれた式ですから、「分数関数の等式」あるいは「分数式の方程式」などというべきでしょう。なお、方程式は変数を含む等式のことです。
お書きの式は定数a,bを適当に選べば、恒等式になりえます。
その場合の分数式の恒等式では、分母=0とする変数の値を除いたすべての変数について、すなわち、分数式の定義域において成り立てばよいのです。

>（問）次の恒等式を満たすa、bを求めよ
>５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3)
がxについての恒等式であるなら、両辺に(x－2)(x＋3)を掛けた
5=a(x+3)+b(x-2)　つまり　5=(a+b)x+(3a-2b)
もxについての恒等式となります。
恒等式であるからxの各次の係数は等しい。
a+b=0, 3a-2b=5
このa,bの式を連立させて解けば
a=1, b=-1
a=1,b=-1と定めれば、
与式の右辺=1/(x-2) -1/(x+3)={(x+3)-(x-2)}/{(x-2)(x+3)}=5/{(x-2)(x+3)}=左辺
となるので、与えられた分数式の等式は（分数式の定義域で成り立つ）恒等式となる
ことが判ります。

お礼

お答え下さり、どうもありがとうございます。
「分数式の定義域において、両辺の等式が成り立つので、恒等式である」
ということでしたが、恒等式の正しい定義は、「『すべての数』について両辺の等式が成り立つ」ことではなく、「『定義域』において両辺の等式が成り立ものが、恒等式」という理解でよろしいでしょうか？

回答No.1

atkh404185

【　恒等式　】
含まれている文字がどのような値をとっても、
その　《　両辺の値が存在する　》　限り、
両辺の値が等しいような等式を、
その文字についての恒等式
といいます。

なので、
ｘ＝２　や　ｘ＝－３　の場合、
右辺　および　左辺　は値が存在しないので、
ｘ＝２　や　ｘ＝－３　を除外して考えることになります。

お礼

お答えくださり、どうもありがとうございます。

１つ確認なのですが、５／{(x－2)(x＋3)} = a／(x－2）＋b／(x＋3)の式は、ｘ＝２　や　ｘ＝－３　の場合を除外しているので、すべての数では、左辺＝右辺が成立しません。その結果、「恒等式ではない」という理解でよろしいでしょうか？