平方根のかけ算

質問

https://okauth.questionbox.jp.msn.com/qa7837038.html
こちらで質問していた者ですが、質問を変更します。
√a×√b=√ab (a≧0,b≧0,a∈R,b∈R、その他の場合は一般に成立しない)です。
複素数を導入し、負の数の平方根を採用し、複素幾何について触れないものとして、
√a×√b=√ab　がa<0,b<0,a∈R,b∈Rの時に成立「しない」ことを証明してください。

規約的回答は個人の好みにより求めません。
(例:√abは√a×√b (a≧0,b≧0,a∈R,b∈R)の数として定義され、それ以外では未定義であるから成立しない)

回答No.1

noname#175206 · ベストアンサー

>√a×√b=√ab　がa<0,b<0,a∈R,b∈Rの時に成立「しない」ことを証明してください。

　前の回答で、ほぼやったはずですが。

　a, bを任意の負の実数として、√a・√b＝√abが常に成立すると仮定する。
　a=b=-1を選ぶと、それは負の実数であるから、仮定を満たさなけれならない。

　√-1×√-1＝√(-1・-1)＝√1＝1は、仮定により成立する。

　一方、√の性質より、負の実数での√aの存在を許すという仮定のもとでも、√a・√a＝(√a)^2＝aであるから、a＝-1では、√-1・√-1＝(√-1)^2＝-1が成立する。

　以上より、仮定を肯定すれば、1＝-1が成立しなければならないが、実数の性質により、これは成り立たない。

　よって、仮定「a, bを任意の負の実数として、√a・√b＝√abが常に成立する」は、負の実数において反例が存在し、仮定は棄却される。

P.S.

　-1を任意の負の実数aとする、さらにa, bを任意の負の実数とすれば、常に成り立たない証明もできるでしょうね。それはお任せします。

お礼

ありがとうございます。