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相加相乗平均の証明がわかりません
(問)a>0,b>0の時、(a+b)(1／a＋4／a)を証明せよ。 (証明) 左辺＝1＋4a／b＋b／a+4 ＝5＋4a／b＋b／a ここで、相加相乗平均より 4a／b＋b／a≧2√4a／b×b／a＝4 よって、(a+b)(1／a＋4／a)≧9 等号成立はa=bかつ1／a＝4／a つまり、2a=b 『つまり、2a=b』 の部分で1／a＝4／aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。 等号成立のとこから間違ってしまっているのか、単なる計算ミスなのかがわかりません。 回答の方をよろしくお願い致します。
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計算から察するに、問題は、「a>0,b>0のとき、(a+b)(1/a + 4/b)≧9を証明せよ」ですよね。 そして、等号成立は、相加相乗平均の等号成立条件から、4a／b = b／a ですよね。 質問の部分の「 『つまり、2a=b』 の部分で1／a＝4／aの計算で両辺にabをかけて計算すると答えが b=4aになってしまい答えと異なってしまいます。」の部分がどこか計算ミスをされているのだと思います。 ちなみに、2a=b という等号成立条件は、どのような計算で出たのでしょうか。。。 本命題の等号成立条件 4a／b = b／a の両辺に ab を掛けると、4a^2 = b^2 となり、a>0,b>0 だから、2a=bとなりますが、2a = b は別の解法で導出したのでしょうか。。。 記号を使った証明の検算としては、具体的な数値を入れてみるという手があります。 たとえば、 a=1,b= a=1 のときは、左辺＝(1+1)(1+4)=10>9 等号成立しない。 a=1,b=2a=2 のときは、左辺= (1+2)(1+2)=9 等号成立！！ a=1,b=4a=4 のときは、左辺= (1+4)(1+1)=10>9 等号成立しない。 という検算をやってみて、 2a=bという条件が等号成立の条件として正しそうで、 a=bや4a=bという条件では、等号が成立しない、すなわち、a=bや4a=bという条件を導出する過程でどこか勘違いや計算ミスを犯しているということになり、その導出過程を徹底的に洗い出すことになります。 （これは、等号成立の条件の証明ではなく、あくまで検算です。） 記号を使った証明問題は、一般的な証明を行った後で、具体的な数値を入れて正しいかどうかを検算するクセをつけておくといいと思います。
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＞＞ここで、相加相乗平均より 4a／b＋b／a≧2√4a／b×b／a＝4 なわけですから、 等号成立は4a／b＝b／aのときです。 両辺ab倍すると、4a^2＝b^2 つまり (2a)^2＝b^2 になります ここでa>0,b>0の条件から2a＝bといえます。 http://image.blog.livedoor.jp/enjoy_math/imgs/f/b/fbf75b9e.bmp
- mister_moonlight
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＞a>0,b>0の時、(a+b)(1／a＋4／a)を証明せよ。 正しくは、a>0,b>0の時、(a+b)(1/a＋4/b)≧9 を証明せよ。だろう。 質問者の誤りは、 ＞等号成立はa=bかつ1／a＝4／a（これは、多分1/a＝4/bの間違いだろう） a=bはどこから来たの？ 等号は、b/a＝4a/bだが、a>0,b>0から2a=b。
何を証明するのですか
お礼
詳しく説明して頂きありがとうございました。 とてもよくわかりました。