e^(1/z)の漸近展開の求め方

質問

独学中のものです。
f(z)～(a_0)+(a_1)/z+(a_2)/z^2+…+(a_n)/z^n　…(1)
関数f(z)の漸近展開が(1)のとき、係数(a_0),(a_1),(a_2),…は次のようにして求められる。
『lim[|ｚ|→∞]f(z)=a_0
lim[|ｚ|→∞]z{f(z)-a_0}=a_1
lim[|ｚ|→∞]z^2{f(z)-(a_0)-(a_1)/z}=a_2
　………………………………………………
　　　　　　　　　　(ただし z∈D )　　　　』…(2)
このようにf(z)が漸近展開を持てば、それは一意的に定められるが、逆は成り立たない。すなわち相異なる二つの関数が同一の漸近展開を持つことがある。
たとえば|argz|＜Π/2ならばRe(z)＞0であって、そこでlim[|ｚ|→∞]e^z=∞ である。これに注意して(2)を用いると、|ｚ|＞0, |argz|＜Π/2 において、
e^(1/z)～1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+…　　…(3)
e^(1/z)+e^(-z)～1+1/(z・1!)+1/(z^2・2!)+…　…(4)
すなわち、この二つの関数は同一の漸近展開を持っている。以上は教科書からの抜粋です。

(3)式の右辺第二項の係数(1/1!)や第三項の係数(1/2!)が(2)式の第２、第３式からどのような過程で求められるのか、わかりやすく教えて下さい。
分かり辛い書き方ですみませんが、宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

|z| → ∞ ってことは, x = 1/z とおくと x → 0 ですね. そこから, 「e^x は何回微分しても e^x である」とか「L'Hospital の定理」とかを使えば
lim z [e^(1/z) - 1] = lim (e^x-1)/x = e^0 = 1 とか
lim z^2 [e^(1/z) - (1 + 1/z)] = lim (e^x - (1 + x))/x^2 = lim (e^x - 1) / (2x) = 1/2 とか
計算できます (z に対する lim は → ∞, x に対する lim は → 0 で).
もっとがんばれば Laurent 展開までいっちゃいますけど....

お礼

今晩は。再度のご回答ありがとうございます。
(e^x-1)=z と置き換えて何とか理解できました。
なるほど「L'Hospitalの定理」を使うと簡単ですね。
有難うございました。またの節も宜しくお願いします。

回答No.1

Tacosan

e^x のマクローリン展開を計算してみてください.

補足

今日は。早速のご回答ありがとうございます。
e^xのマクローリン展開による表現を利用するとe^(1/z)の各項の係数が(3),(4)式のようになるのは分かるのですが、疑問点は、マクローリン展開を使わずに、たとえば(2)式の第２式はa_0が1のとき、
　lim[|ｚ|→∞]z{e^(1/z)-1}=a_1 になるかと思うのですが、この式の左辺がどのような変形で
　1/1!=a_1　になるのかということが分からない点なのですが…。私自身がマクローリン展開や特に(2)式の左辺の意味が理解できていない事から来る疑問であるのかも知れませんが、その辺の所を教えてもらえると嬉しいのですが…。
宜しくお願いします。