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数学の因数分解の問題がわかりません
（x－１）（x－３）（x－５）（x－７）+１５を因数分解せよという問題なのですが、４次式の因数分解の簡単なやり方を教えてください。
- 数学・算数
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数学の一般的な思考方法として、規則性を見つけることが大切です。 また、大体の問題はパターンを知っていれば解ける問題が多いので、 練習量がものをいうといっても過言ではありません。 すると、数字が変わっただけで考え方が同じだ。と言えるようになります。 まず、上の問題は、（ｘ－１）と（ｘ－７） （ｘ－３）と（ｘ－５）に分けて考えます。 なぜかというと、数字の組み合わせに注目して、 １と７を足すと、８ ３と5を足すと８になるからです。 というのは、(x-a)(x-b)=ｘ2-(a+b)x+abとなり、この真ん中の数字が両方 8となってそろうからです。 (x-1)(x-7)=ｘ2－８ｘ＋７ (x-3)(x-5)=x2ー８x+15 ７と15の数字が違うけど、大事なのはその前のx2-8x これを便宜上 ｔ とおきましょう。 （これは余談ですが、高次の数式や長い数式を展開するときなど、 同じものは上記のように、別の一つの文字で置き換えないと、 計算ミスの可能性が飛躍的にアップします。 くどいですが、厳密にいえば、t以外でもアルファべっト はなんでもいいです。 すると、t+7 t+15 と簡単な数字で表すことができます。 これをお互い掛け合わせるのですから、 t2+22t+105 となり、+15 を足すとt2+22t+120 ですね？ そして今度はこれを因数分解します。ここからは おわかりでしょうが、 因数分解せよ、とは、（x+a)(x+b)の形に戻せ。（あるいは 可能な限り共通の項をまとめなさい。）ということですから、 これも同じようにします。 その時はやはり真ん中の数字に注目します。 22ですね？ これは、1＋２1 ２＋20 ３＋19・・・ となる組み合わせで出てくる数字です。 次にこれを踏まえて、120という数字にも注目します。 120は、上の組み合わせのどれから出てくる数字かを 考えます。 注意すべきは公式をよく見ること。真中は足し算。 後ろは掛け算です。 すると、１2+10 12x10の組み合わせが考えられるので、 (t+12)(t+10)と因数分解できます。 （すぐに組み合わせを見つける方法としては、 たすき掛けを使ったりすることや、大体これくらいの数字だろうな、と あたりをつけられるようになることが大事です。） 最後にtを元の数字に戻します。 t=x2-8xとおいていましたから、 (x2-8x+12)(x2-8x+10) さらに中身を因数分解します。 (x-2)(x-6)(x2-8x+10)ですかね、 右のやつは足し算掛け算が一致する 数字が見つからないのでそのままです。 ｔを元に戻して終わり、と安心することが たまにあるのが怖いところです。 （x+a)(x+b)などのように、ｘ＋一つの文字。 となるまで因数分解できないか、 疑うことが必要だと思います。 ここまで読んでいただきありがとうございました。 長くなって申し訳ありませんでした。
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t=x-4と書くと、 与式=(t+3)(t-3)(t+1)(t-1)+15=(t^2-9)(t^2-1)+15。 s=t^2とすると、 (t^2-9)(t^2-1)+15=(s-9)(s-1)+15=s^2-10s+24=(s-6)(s-4) =(t^2-6)(t^2-4)=((x-4)^2-6)((x-4)^2-4)=(x^2-8x+10)(x^2-8x+12) =(x^2-8x+10)(x-6)(x-2)。
- Butz
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こんばんわ★ 長い事やってなくてもうあやふやですが・・・・ この手の問題は (ｘ－１)(ｘ－７)、(ｘ－３)(ｘ－５)をそれぞれ計算して、 共通のｘ^2－８＝Ａみたいに置いて最後にそれを戻すような因数分解だったような・・・・ 間違っていたらすいませんｍ(＿＿)ｍ
- gohtraw
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（ｘ－１）（ｘ－７）＝ｘ＾２－８ｘ＋７ であり、 （ｘ－３）（ｘ－５）＝ｘ＾２－８ｘ＋１５ なので与式は （ｘ＾２－８ｘ＋７）（ｘ＾２－８ｘ＋１５）＋１５ です。 ここでｘ＾２－８ｘ＋１１＝Ｘ とおくと与式は （Ｘ－４）（Ｘ＋４）＋１５＝Ｘ＾２－１６＋１５ ＝Ｘ＾２－１ ＝（Ｘ＋１）（Ｘ－１） ＝（ｘ＾２－８ｘ＋１２）（ｘ＾２－８ｘ＋１０） ＝（ｘ－２）（ｘ－６）（ｘ＾２－８ｘ＋１０）
