数学についての質問です

質問

a>1 のとき、 x についての方程式

a*x = a^x

を解くと、x=1でない方の解は a を用いてどう表現できますか

f(x) = a^x - ax

f'(x) = (a^x)*ln(a) - a

f'(x) = 0 ⇔ x = 1 - log a (ln(a))

ここで、この差の関数の増減の変化点を、確かな解である x = 1 としてみると a = e

このとき二解が一致し、常に a^x ≧ ax

a = e の前後で他解の位置は x = 1 を前後する

ここで他解 x' について a = x'^(1/(1-x')) を考えると

a → ∞ : x' → 0
a → 1 : x' → ∞

云云‥‥

他解の存在やその他周辺のこともある程度分かるのですが、その解の表現の仕方がわからないです (>_<)

表現できなければその証明を、また、この問題に関することで興味深いこととかあれば教えてほしいです (^_^)/

回答No.4

Tacosan

や, T に意味はないです. 「キーボードを見て, なんとなく打った」だけ.

で, いわゆる初等超越関数で書けない... というのは (イメージとして) わかってもらえるかと.

補足

タコサンの T だったらどうしようと思って‥‥(笑)

やっぱり初等という範囲では無理なのですね。

少しショックありつつも、
でも僕の中では更なる数学的展望に満ち満ちてます

勉強します！

回答No.3

alice_44

あ、ミスプリあった。

ax = a^x を変形すると、
1 = x + log[1/a]w じゃなく
1 = x + log[1/a]x が正しい。

これと
log[B] log[B]z = log[B]w + log[B] log[B]w
を一致させる部分に間違いはないので、

結論は A No.2 と同じ
x = (1/a)^W( (1/a)^(1/a) )
になる。

ま、こんなことしているよりも、
Tacosan の T 関数を定義して
それがどんな性質を持つ関数かを研究したほうが
得るところはありそうだよね。

補足

やはり新しい関数の導入が必要になってくるんですね。

ランベルトの W 関数ですか‥‥。

僕のレベルではまだこういった関数を考えてみることもないので、ありがとうございます。

z = x^x の逆関数を考えると有意義なのですね‥‥。

勉強してみます！

W関数によって表された解は‥‥一応、イメージできますね。

いや、でも、ランベルトからの冪数は少し厄介、しかも底がまた変数‥‥

a > 1 なら W ‥‥‥むむむ

少し困難が‥‥

回答No.2

alice_44

指数方程式については、例によっていつもの
「ランベルトの W 関数」かなあ…

xのx乗 の逆関数を、ランベルトの W 関数と言う。
w=W(z) と z=(wのw乗) が、同値。
この式の、底 B の対数を 2 回とると、
log[B]z = w log[B]w.
log[B] log[B]z = log[B]w + log[B] log[B]w.

一方、問題の式 ax = (aのx乗) の
底 1/a の対数をとると、
log[1/a]a + log[1/a]x = x log[1/a]a. すなわち、
1 = x + log[1/a]w.

両式は、B = 1/a, log[B] log[B]z = 1,
log[B]w = x で一致する。つまり、
x = (1/a)のW( (1/a)の(1/a)乗 )乗.

ま、カタギの式じゃないね。
タコサンの T 関数を使ったほうが健全な気もする。

回答No.1

Tacosan

「表現できる」とはどういうことですか?

例えば
「ax = a^x を満たす, 1 でない値」を T(a) と書く
ことにすれば「表現できる」よね.

それがうれしいかどうかはともかくとして.

お礼

ありがとうございます。

ちなみに、この T 関数の名前の由来は‥‥？

僕の妄想だったらすみません。

ともかく、ありがとうございます。

補足

そうですよね。

制限がなければ、ですよね。

元々数学なんてすべて定義の世界ですし。

希望としては、整式 + 指数・対数 + 三角関数 の範囲でした。

直接的に、視覚的にわかりたかったのです。

これ以外になってくるともう、定義が二段階目に入ってしまいますよね。