微分方程式

質問

どなたかお時間があれば回答お願いします。

定数係数の常微分方程式で特性方程式がｍ重根をもつとき
について、解がｅ^ax、ｘｅ^ax、ｘ^2ｅ^ax・・・で与えられることを示してあったのですが、
ｄ/ｄａｆ(Ｄ)ｅ^ax＝ｆ(D）(ｘｅ^ax)、
ｄ/ｄａ(ｆ(ａ)ｅ^ax）=（ｆ'(ａ)＋ｘｆ(ａ))ｅ^ax、
（ｄ/ｄａは偏微分です）
と書いてあったのですが、なぜこうなるのでしょうか？

２番目などは（ｆ'(ａ)＋ａｆ(ａ))ｅ^axとはならないのですか？

これらの操作を繰り返していくと、Leibnitzの公式が得られるらしいのですが。

回答No.1

toranekosan · ベストアンサー

aに関しての変分なので、
∂(g(x)exp(ax))/∂a=g(x)∂(exp(ax))/∂a=xg(x)exp(ax)
となります。
同じく、二番目の式も
∂(g(a)exp(ax))/∂a=exp(ax)∂(g(x))/∂a+g(a)∂(exp(ax))/∂a
となります。

もっといい例は
∂(ax)/∂a=x
変分は、変分する変数以外は変化量でないと見立てて微分するのです。

おそらく、勘違いされているのが、
＞２番目などは（ｆ'(ａ)＋ａｆ(ａ))ｅ^axとはならないのですか？
のかしょで、これはxに対する変分（exp(ax)に対して）とaに対する変分（f(a)に対して）がごっちゃになっています。

お礼

回答ありがとうございました。

なるほど～、ｘで微分してました。
ほんとに助かりました。