軌跡と領域の問題です。

質問

軌跡と領域の問題です。

aを定数とする。
点（x,y）が不等式x^2≦y≦xの領域を動く時、
つねに1/2≦（x-a）^2＋y≦2となるaの範囲を求めよ。

問題の考え方から分かりません。
お願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞問題の考え方から分かりません。

座標を使った方が視覚的にもミスを防げるが、しかし、方法はそれだけではない。
計算は煩いが計算だけで解けるし、引き出しは多くあったほうが良いに決まってる。

x^2≦y≦x　‥‥(1)から　0≦x≦1　‥‥(2)はすぐわかる。
1/2≦（x-a）^2＋y≦2　は　1≦2（x-a）^2＋2y≦4　であるから、(1)より　1≦2（x-a）^2＋2x^2≦2（x-a）^2＋2x≦4。‥‥(3)
つまり、(2)の条件で(3)が常に成立するためのaの条件を求めることになる。

f(x)＝（x-a）^2＋x-2、g(x)＝2（x-a）^2＋2x^2-1 とすると、(2)の範囲でf(x)の最大値≦0、g(x)の最小値≧0を考えると良い。
aの場合わけが必要になるが、結果は　f(x)の最大値≦0　から　0≦a≦√2　‥‥(4) g(x)の最小値≧0　から1≦a　になるから、1≦a≦√2　が答え。

計算だけでも、丁寧に追っかければできる比較的単純な問題。

お礼

ありがとうございます。

こういう問題は頭だけで考えるのではなく、実際に目に見えるように書いてみるのも大事なのですね。

似たような問題を解いて練習してみます。

回答No.2

juju6onchu

こういう問題は、ａを具体的に固定して考えてみると状況が分かります。

ａ＝０の時は大丈夫（題意を満たす）だろうか？
ａ＝１の時は・・・？

などと色々考えてみるとよいでしょう。

そうすると、だんだんａの動きうる範囲が見えてきて、色んな解法も浮かんでくると思いますよ。

頑張って下さい。

お礼

その方法だと、それ以外の数は本当にないのか確認できないからやめた方が良い
と先生に言われたのですが、

やり方を導くという意味では練習になるかもしれないですね。

頑張ってみます

回答No.1

OKXavier

領域の問題ですね。
問題を領域中心に読み替えてみると分かります。

D={(x,y)|x^2≦y≦x}
M={(x,y)|1/2≦(x-a)^2＋y≦2}
とすると、
(x,y)∈D　ならば　(x,y)∈M を満たすaの範囲を求めればよい。

つまり、三日月状の領域Dが２つの放物線で挟まれた曲がった帯状
領域Mに含まれるようなaの範囲を求めればよいことが分かります。

（答え）1≦a≦√2

お礼

ありがとうございます。

一部、命題のような要素が含まれているって事ですね。