偏微分方程式のラプラス変換による解法

質問

初期値問題
u_tt=u_xx
u(x,0)=f(x)=1(|x|<1),0(|x|>1)
u_t(x,0)=0

をダランベールではなくラプラス変換でときたいのですが、
s^2*U(x)-sf(x)=(d^2/dx^2)U(x)
までいって詰まってしまいました。
この解は、
U(x)=Ae^st+Be^-st+f(x)/s
でよいのでしょうか？
しかし、そうだとしても係数の求め方が解りません
よろしくオネガイシマス。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

「それで？」の先を少し考察してみました。

U_xx(x,s)=(s^2)U(x,s)-s f(x) …(1)
はxについての微分方程式なので、sを定数だと思えば
U(x,s)=P(s) exp(xs) + Q(s) exp(-xs) +f(x)/s
である。ただし、P, Qは「sだけの(xに依らない)関数」だとしか分からない。

　P, Qの逆変換（が存在するかどうか分からないが、ともあれそれ）をそれぞれp(t), q(t)とすると
（ここで、exp(xs)　(x>0) の逆ラプラス変換というのは反則なのだが、ま、目をつぶったとすると）
u(x,t) = p(t)*δ(t+x) + q(t)*δ(t-x)+f(x)H(t)
= p(t+x)+q(t-x)+f(x)H(t)
となる。

　さて、解
u(x,t) = (f(x+t) +f(x-t))/2
を表せるp,qは果たしてあるでしょうか。少なくとも、 t>1かつ|x|<(t-1)の領域では常にu=0でなくてはならない。そんなp, qは作れそうにないな。どうもおかしい。

　ではANo.1の方針で、解のラプラス変換をやったらどういうことになるか。実際にやるのはお任せするけれども：
1<|x| のときと 0<|x|<1のときに場合分けすると、解のラプラス変換は微分方程式(1)を満たし、また具体的にP,Qが計算できて、それを逆ラプラス変換して得られるuは解を再現するでしょう。ここまでは旨く行くと思います。
　さて、1<|x| の場合と 0<|x|<1の場合とで、Pの式は異なる（Qについても同様）だろうと思います。で、もしそうなら、これはP, Qを「sだけの(xに依らない)関数」として表せていないということですから、ここで話が破綻する。（従って、「もったいぶって解いてみせる」ことが出来なくなってしまう。）

　何が不味いかというと、ラプラス変換はt<0の世界をあっさり無視してしまう、ということがポイントだと思います。（上記の「目をつぶ」る部分もこれと関係している。）フーリエ変換を使うと話は違ってくるでしょう。

お礼

返信が遅くなり申し訳有りません。
そのとおりですね、場合わけが必要になるぽいです。しかも４つ。
やっぱりラプラス変換じゃできないのかな…。

にしても質問者は今大学の2年生ですが、高校の頃からstomachmanさんにお世話になっている気がしますｗそしてそのあまりにも丁寧な解説！！
この問題よりその素性がきになったり…！？（＾０＾）

回答No.4

stomachman

いろいろひねくって検討してみるのは面白くて有意義だけど、解くということに限れば、素直にフーリエ変換を使うのが良いな、やっぱり。

u_tt=u_xx
u(x,t)のtに関するラプラス変換をU(x,s)とすると、
(s^2)U - su(x,0) - u'(x,0) = U_xx
初期条件 u(x,0)=f(x), u'(x,0)=0 から方程式は
(s^2)U - sf(x) = U_xx

　Uのxに関するフーリエ変換を
V(w,s)= ∫[x=-∞～∞] U(x,s)exp(-iwx)dx
またf(x)のそれをF(w)とすると、方程式は
(s^2)V(w,s)-sF(w)=-(w^2)V(w,s)
これをVについて解いて、
V(w,s)=F(w)G(w,s)
ただしGは
G(w,s)=s/(s^2+w^2)
のこと。このGの逆フーリエ変換gは
g(x,s)=(1/2)exp(-s|x|)
である。一方コンボルーション定理から
U(x,s)=f(x)*g(x,s)　(*はxに関するコンボルーション)
である。

　さて、gの逆ラプラス変換をk(x,t)とすると、
k(x,t)=(1/2)δ(t-|x|)
u(x,t)=f(x)*k(x,t)
である。このコンボルーションを積分で書くと
u(x,t)=(1/2) ∫[y=-∞～∞]δ(t-|y|)f(x-y)dy
t＞0のとき、
u(x,t)=(1/2) ∫[y=-∞～0]δ(t+y)f(x-y)dy+(1/2) ∫[y=0～∞]δ(t-y)f(x-y)dy
第一項はy>0でδ(t+y)=0なので積分範囲をy=-∞～∞に広げても同じ。第二項も同様だから、
u(x,t)=(1/2) ∫[y=-∞～∞]δ(t+y)f(x-y)dy+(1/2) ∫[y=-∞～∞]δ(t-y)f(x-y)dy
=(1/2) ∫[y=-∞～∞](δ(t+y)+δ(t-y))f(x-y)dy
=(1/2) ∫[y=-∞～∞](δ(y+t)+δ(y-t))f(x-y)dy
　つまり、
k(x,t)=(1/2)(δ(x+t)+δ(x-t))
である。

　かくて、f(x)が（フーリエ変換できさえすれば）何であろうと
u(x,t)=f(x)*k(x,t) = (f(x+t)+f(x-t))/2

回答No.3

Ae610

U_tt=U_xx・・・(1)
U(x,0)=f(x)=1(|x|<1),0(|x|>1)
U_t(x,0)=0

L[U(x,t)]=u(x,s) , L[U(x,0)]=L[f(x)]=u(x,0)=K(s) , L[U_t(x,0)]=u_t(x,0)(=0)
と表す。
L[U_tt]=s^2・u(x,s)-s・u(x,0)-u_t(x,0)=s^2・u(x,s)-sK(s) (但しK(s)=L[f(x)])
L[U_xx]=u"(x,s)

よって(1)のラプラス変換は
s^2u(x,s)-sK(s)=u"(x,s)
∴u"(x,s)-s^2u(x,s)=-sK(s)・・・(2)
K(s)=1/s・・・(|x|<1)
=0 ・・・(|x|>1)

(2)を解くと
u(x,s)= C1・e^(-sx)+C2・e^(sx)-s^2 ・・・(|x|<1)
= C1・e^(-sx)+C2・e^(sx) ・・・(|x|>1)

よってラプラス逆変換（invL[]で表す）を取って
invL[u(x,s)]=invL[C1・e^(-sx)]+invL[C2・e^(sx)]-invL[1/s^2]・・・(|x|<1)
=invL[C1・e^(-sx)]+invL[C2・e^(sx)] ・・・(|x|>1)
∴U(x,t)=C1・F(t-x)+C2・F(t+x)-t ・・・(|x|<1)
=C1・F(t-x)+C2・F(t+x) ・・・(|x|>1)
(F(X)は任意関数とする)

U(x,0)=f(x)より
f(x)=(C1+C2)・F(x)・・・(3)
U_t(x,0)=0より
C1・F'(-x)+C2・F'(x)-1=0 (F'(t+x)は任意関数F(t+x)の微分を表すものとする)
積分してx=0とすると
(-C1+C2)・F(x)=k (kは定数)・・・(4)
(3),(4)より
C1=(f(x)-k)/2F(-x) , C2=(f(x)+k)/2F(x)

よって
U(x,t)=((f(x)-k)/2F(-x))・F(t-x)+((f(x)+k)/2F(x))・F(t+x)-t・・・(|x|<1)
=((f(x)-k)/2F(-x))・F(t-x)+((f(x)+k)/2F(x))・F(t+x) ・・・(|x|>1)
(F(X)は任意関数でF(0)≠0 , kは定数)

・・・と形式的に解いてはみたが、ちと自信ない。

回答No.1

stomachman

なんか、「それで？」って感じの方程式が出てきたきり、先に進めなくなったと。（解の部分については、　U(x)と書いているけど、tをsに変換したんだからUはsとxの関数である。そこんとこ、混乱してませんか？）

　だったら、逆から攻めてみる。つまり、フツーに考えりゃ元の波動方程式の初期値問題は単に公式で解けて
u(x,t)=(f(x+t)+f(x-t))/2
となるんだから、これを陽に使って、ラプラス変換U(x,s)やらその偏微分やらを計算し、ナニがドウなってるのか研究してみちゃどうだろう。で、話の構造が分かったところで元の問題に戻って（解など知らないふりをして）もったいぶって解いてみせるんですよ。

お礼

それはナイスアイデアです！
まだ回答募集しますがちょっとそれでトライしてみます^^