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複素フーリエ級数について
f(x)=x,(0<x<2π) 自分の答えは、 f(x)=iΣ(n≠0,n=-∞からn=∞)exp[inx]/n です。 しかし、教科書は、 f(x)=π+iΣ(n≠0,n=-∞からn=∞)exp[inx]/n です。 なんで、πがあるのか分りません。 分りやすい解説をお願いします。
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#2です。 A#2の補足質問について >n=0をc_nの式にいれてはいけないのはなんででしょうか？ 非対称であり、かつ、統一的に扱えないからでしょう。 c_0=a_0/2 …(☆） c_n=(a_n-ib_n)/2 (n≠0) c_(-n)=(a_n+ib_n)/2 (n≠0) で、a_0は存在しても、b_0が存在せず、b_n(n≧1)だから、 n≠0の式にn=0を含めるには無理があります。 別に扱った方が自然でしょう。 ただ、(☆)のようにn=0のc_0=a_0/2 と定めておけば f(x)=∑(n=-∞,∞)c_n*exp(inx) とは書けるでしょう。 しかし、c_nを代入すれば この段階で f(x)=π+iΣ(n≠0,n=-∞からn=∞)exp[inx]/n とn=0の場合を別扱いすることになるかと思います。
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- info22_
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n=0に対応する項がπで、f(x)の平均値（周波数0の成分、直流分）がπということです。 定義から計算しても c0=(1/(2π))∫[0,2π]f(x)dx =(1/(2π))[(1/2)x^2] [0,2π] =(1/(2π))*(1/2)(2π)^2 =π となります。
補足
n=0をc_nの式にいれてはいけないのはなんででしょうか？
- muturajcp
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f(x)=x,0<x<2π g(x)=iΣ(n≠0,n=-∞～∞)e^{inx}/n とすると f(π)=π g(π)=iΣ(n≠0,n=-∞～∞)e^{inπ}/n =iΣ(n=1～∞)(e^{inπ}-e^{-inπ})/n) =iΣ(n=1～∞)(2isin(inπ)/n) =0 ≠π=f(π)
お礼
ありがとうございました。
補足
しかし、exp[x]を複素フーリエ級数で表す場合、c_nの式の中にn=0のときも入っています。 なぜ、xを複素フーリエ級数で表す場合は、c_nの式の中にn=0をいれたらおかしいんでしょうか？ exp[x]=(sinhπ/π)Σ(n=-∞からn=∞まで)((-1)^n)*((1+in)/(1+n^2))*exp[inx] です。